Уравнения узловых напряжений — различия между версиями
Elmir (обсуждение | вклад) (→Вывод уравнений узловых напряжений (УУН)) |
Elmir (обсуждение | вклад) (→Вывод уравнений узловых напряжений (УУН)) |
||
Строка 31: | Строка 31: | ||
* ветвь, моделирующая шунтовые проводимости: | * ветвь, моделирующая шунтовые проводимости: | ||
− | : <math>\displaystyle \dot{J}_{k(sh)}=\dot{U_k}\underline{Y}_{km(sh)}</math> | + | : <math>\displaystyle \dot{J}_{k(sh)}=\dot{U_k}\underline{Y}_{km(sh)},</math> |
* ветвь, не содержащая трансформаторов: | * ветвь, не содержащая трансформаторов: | ||
− | : <math>\displaystyle \dot{J}_{km}=\frac{\dot{U_k}-\dot{U_m}}{\underline{Z}_{km}}</math> | + | : <math>\displaystyle \dot{J}_{km}=\frac{\dot{U_k}-\dot{U_m}}{\underline{Z}_{km}},</math> |
* трансформаторная ветвь <math>k2</math>, сопротивление <math>\underline{Z}_{k2}</math> которой приведено к узлу <math>k</math>: | * трансформаторная ветвь <math>k2</math>, сопротивление <math>\underline{Z}_{k2}</math> которой приведено к узлу <math>k</math>: | ||
− | : <math>\displaystyle \dot{J}_{k2}=\frac{\dot{U_k}-\frac{\dot{U_2}}{\dot{k}_{k2}}}{\underline{Z}_{k2}}</math> | + | : <math>\displaystyle \dot{J}_{k2}=\frac{\dot{U_k}-\frac{\dot{U_2}}{\dot{k}_{k2}}}{\underline{Z}_{k2}},</math> |
* трансформаторная ветвь <math>k1</math>, сопротивление <math>\underline{Z}_{k1}</math> которой приведено к смежному узлу <math>1</math>: | * трансформаторная ветвь <math>k1</math>, сопротивление <math>\underline{Z}_{k1}</math> которой приведено к смежному узлу <math>1</math>: | ||
− | : <math>\displaystyle \dot{J}_{k1}=\frac{1}{\hat{k}_{k1}}\frac{\frac{\dot{U_k}}{\dot{k}_{k1}}-\dot{U_1}}{\underline{Z}_{k1}}</math> | + | : <math>\displaystyle \dot{J}_{k1}=\frac{1}{\hat{k}_{k1}}\frac{\frac{\dot{U_k}}{\dot{k}_{k1}}-\dot{U_1}}{\underline{Z}_{k1}}.</math> |
Наличие знака сопряжения в этом выражении обусловлено тем, что для идеального двухобмоточного трансформатора выполняется закон сохранения мощности <math>\dot{S_н}=\dot{S_в}=\hat{I_н}\dot{U_н}=\hat{I_в}\dot{U_в}</math>, где индексами "Н" и "В" обозначены соответственно низшая и высшая обмотки трансформатора, поэтому, если <math>\dot{U_в}=\dot{U_н}\dot{K_{вн}}</math>, то из закона сохранения следует: | Наличие знака сопряжения в этом выражении обусловлено тем, что для идеального двухобмоточного трансформатора выполняется закон сохранения мощности <math>\dot{S_н}=\dot{S_в}=\hat{I_н}\dot{U_н}=\hat{I_в}\dot{U_в}</math>, где индексами "Н" и "В" обозначены соответственно низшая и высшая обмотки трансформатора, поэтому, если <math>\dot{U_в}=\dot{U_н}\dot{K_{вн}}</math>, то из закона сохранения следует: | ||
− | : <math>\displaystyle \dot{I_в}=\dot{I_н}\frac{\hat{U_н}}{\hat{U_в}}=\frac{\dot{I_н}}{\hat{k}_{вн}}</math> | + | : <math>\displaystyle \dot{I_в}=\dot{I_н}\frac{\hat{U_н}}{\hat{U_в}}=\frac{\dot{I_н}}{\hat{k}_{вн}}.</math> |
Подстановка полученных выражений в уравнение (1.1) с приведением подобных членов позволяет получить уравнение для k-го узла в виде: | Подстановка полученных выражений в уравнение (1.1) с приведением подобных членов позволяет получить уравнение для k-го узла в виде: | ||
Строка 61: | Строка 61: | ||
для проводимости справедливо следующее: | для проводимости справедливо следующее: | ||
− | : <math>\displaystyle \underline{y}=\frac{1}{\underline{z}}=\frac{1}{r+jx}=\frac{r-jx}{(r+jx)(r-jx)}=\frac{r-jx}{r^2+x^2}=\frac{r}{r^2+x^2}-j\frac{x}{r^2+x^2}=\frac{r}{|\underline{z}|^2}-j\frac{x}{|\underline{z}|^2} \Rightarrow g=\frac{r}{|\underline{z}|^2}; b=\frac{x}{|\underline{z}|^2}</math> | + | : <math>\displaystyle \underline{y}=\frac{1}{\underline{z}}=\frac{1}{r+jx}=\frac{r-jx}{(r+jx)(r-jx)}=\frac{r-jx}{r^2+x^2}=\frac{r}{r^2+x^2}-j\frac{x}{r^2+x^2}=\frac{r}{|\underline{z}|^2}-j\frac{x}{|\underline{z}|^2} \Rightarrow g=\frac{r}{|\underline{z}|^2}; b=\frac{x}{|\underline{z}|^2},</math> |
− | получаем, что <math>\displaystyle \underline{y}=g-jb</math> | + | получаем, что <math>\displaystyle \underline{y}=g-jb,</math> |
но для удобства расчета матрицы проводимостей будем использовать соотношение | но для удобства расчета матрицы проводимостей будем использовать соотношение | ||
: <math>\displaystyle\underline{y}=g+jb</math> (3), тогда | : <math>\displaystyle\underline{y}=g+jb</math> (3), тогда | ||
− | : <math>\displaystyle \underline{y}_{ik}=g_{ik}+jb_{ik}</math> | + | : <math>\displaystyle \underline{y}_{ik}=g_{ik}+jb_{ik};</math> <math>\underline{y}_{ii}=g_{ii}+jb_{ii};</math> |
− | : <math>\displaystyle g_{ii}=-\sum_{j=1,j\neq{i}}^Ng_{ik}</math> | + | : <math>\displaystyle g_{ii}=-\sum_{j=1,j\neq{i}}^Ng_{ik};</math> <math>b_{ii}=-\sum_{j=1,j\neq{i}}^Nb_{ik}.</math> |
Запишем УУН для линейной ЭЭС: | Запишем УУН для линейной ЭЭС: | ||
Строка 77: | Строка 77: | ||
Подставляем (1), (2), (3) в (4), <math>\dot{U}_б</math> представим аналогично уравнению (1), тогда имеем следующее: | Подставляем (1), (2), (3) в (4), <math>\dot{U}_б</math> представим аналогично уравнению (1), тогда имеем следующее: | ||
− | : <math>\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}+jb_{ik}\right)\left(U_{k}'+jU_{k}''\right)=J_{i}'+jJ_{i}''-\left(g_{iб}+jb_{iб}\right)\left(U_{б}'+jU_{б}''\right), i=1..N\end{cases}</math> | + | : <math>\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}+jb_{ik}\right)\left(U_{k}'+jU_{k}''\right)=J_{i}'+jJ_{i}''-\left(g_{iб}+jb_{iб}\right)\left(U_{б}'+jU_{б}''\right), i=1..N\end{cases},</math> |
сгруппируем и приведем подобные: | сгруппируем и приведем подобные: | ||
Строка 111: | Строка 111: | ||
\vec{U_б'} \\ | \vec{U_б'} \\ | ||
\vec{U_б''} | \vec{U_б''} | ||
− | \end{pmatrix} | + | \end{pmatrix}. |
</math> (7) | </math> (7) | ||
− | В случае, если <math>\dot{U}_б=U_б+j0</math> | + | В случае, если <math>\dot{U}_б=U_б+j0,</math> система (6) преобразуется к виду: |
: <math>\displaystyle \begin{cases} | : <math>\displaystyle \begin{cases} | ||
\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)=J_{i}'-g_{iб}U_б, i=1..N\\ | \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)=J_{i}'-g_{iб}U_б, i=1..N\\ | ||
\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)=J_{i}''-b_{iб}U_б, i=1..N | \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)=J_{i}''-b_{iб}U_б, i=1..N | ||
− | \end{cases}</math> (8) | + | \end{cases}.</math> (8) |
Соответственно упрощается матричная форма записи системы (8): | Соответственно упрощается матричная форма записи системы (8): | ||
Строка 140: | Строка 140: | ||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
U_б | U_б | ||
− | </math> (9) | + | .</math> (9) |
− | Вернемся к нелинейной модели ЭЭС. Для этого перенесем составляющую токов базы системы (4) в левую часть,изменив при этом диапазон <math>i=1..(N-1)</math>. Получаем: | + | Вернемся к нелинейной модели ЭЭС. Для этого перенесем составляющую токов базы системы (4) в левую часть, изменив при этом диапазон <math>i=1..(N-1)</math>. Получаем: |
− | : <math>\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\underline{Y}_{ik}\dot{U}_{k}=\dot{J}_{i}, i=1..(N-1)\end{cases}</math> (10) | + | : <math>\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\underline{Y}_{ik}\dot{U}_{k}=\dot{J}_{i}, i=1..(N-1)\end{cases}.</math> (10) |
Как известно, | Как известно, | ||
− | : <math>\displaystyle \dot{S}=\dot{U}\hat{J}</math>, отсюда <math>\hat{J}=\frac{\dot{S}}{\dot{U}}</math> или <math>\dot{J}=\frac{\hat{S}}{\hat{U}}</math> (11) | + | : <math>\displaystyle \dot{S}=\dot{U}\hat{J}</math>, отсюда <math>\hat{J}=\frac{\dot{S}}{\dot{U}}</math> или <math>\dot{J}=\frac{\hat{S}}{\hat{U}}.</math> (11) |
− | Добавим, что <math>\dot{S}=P+jQ</math> (12) | + | Добавим, что <math>\dot{S}=P+jQ.</math> (12) |
Подставляем (11) в выражение (10), получаем следующее: | Подставляем (11) в выражение (10), получаем следующее: | ||
− | : <math>\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\underline{Y}_{ik}\dot{U}_{k}=\frac{\hat{S}}{\hat{U}}, i=1..(N-1)\end{cases}</math> (13) | + | : <math>\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\underline{Y}_{ik}\dot{U}_{k}=\frac{\hat{S}}{\hat{U}}, i=1..(N-1)\end{cases}.</math> (13) |
Подставляем (1), (3), (12) в (13), получаем: | Подставляем (1), (3), (12) в (13), получаем: | ||
− | : <math>\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}+jb_{ik}\right)\left(U_{k}'+jU_{k}''\right)=\frac{P-jQ}{U_i'-jU_i''}, i=1..(N-1)\end{cases}</math> | + | : <math>\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}+jb_{ik}\right)\left(U_{k}'+jU_{k}''\right)=\frac{P-jQ}{U_i'-jU_i''}, i=1..(N-1)\end{cases}.</math> |
Раскрываем скобки, домножаем правую часть на сопряженное и группируем относительно <math>j</math>: | Раскрываем скобки, домножаем правую часть на сопряженное и группируем относительно <math>j</math>: | ||
− | : <math>\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''+j\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)\right)=\frac{P_iU_i'+Q_iU_i''+j\left(P_iU_i''-Q_iU_i'\right)}{U_i'^2+U_i''^2}, i=1..(N-1)\end{cases}</math> | + | : <math>\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''+j\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)\right)=\frac{P_iU_i'+Q_iU_i''+j\left(P_iU_i''-Q_iU_i'\right)}{U_i'^2+U_i''^2}, i=1..(N-1)\end{cases}.</math> |
Вынесем <math>j</math> за знак суммы в левой части, а в правой части разобьем дробное выражение на две составляющие относительно <math>j</math>, получим: | Вынесем <math>j</math> за знак суммы в левой части, а в правой части разобьем дробное выражение на две составляющие относительно <math>j</math>, получим: | ||
− | : <math>\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)+j\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)=\frac{P_iU_i'+Q_iU_i''}{U_i'^2+U_i''^2}+j\frac{P_iU_i''-Q_iU_i'}{U_i'^2+U_i''^2}, i=1..(N-1)\end{cases}</math> (14) | + | : <math>\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)+j\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)=\frac{P_iU_i'+Q_iU_i''}{U_i'^2+U_i''^2}+j\frac{P_iU_i''-Q_iU_i'}{U_i'^2+U_i''^2}, i=1..(N-1)\end{cases}.</math> (14) |
Преобразуем систему (14) к виду, аналогичному системе (8), и получаем нелинейную систему УУН для сети переменного тока '''в прямоугольных координатах в форме баланса токов:''' | Преобразуем систему (14) к виду, аналогичному системе (8), и получаем нелинейную систему УУН для сети переменного тока '''в прямоугольных координатах в форме баланса токов:''' | ||
Строка 172: | Строка 172: | ||
\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)=\frac{P_iU_i'+Q_iU_i''}{U_i'^2+U_i''^2} \\ | \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)=\frac{P_iU_i'+Q_iU_i''}{U_i'^2+U_i''^2} \\ | ||
\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)=\frac{P_iU_i''-Q_iU_i'}{U_i'^2+U_i''^2} | \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)=\frac{P_iU_i''-Q_iU_i'}{U_i'^2+U_i''^2} | ||
− | \end{cases}, i=1..(N-1)</math> (15) '''форма баланса токов''' | + | \end{cases}, i=1..(N-1)</math> (15) '''форма баланса токов'''. |
Матричная запись системы (15): | Матричная запись системы (15): | ||
Строка 195: | Строка 195: | ||
U_i'^2+U_i''^2 | U_i'^2+U_i''^2 | ||
\end{pmatrix}^{-1} | \end{pmatrix}^{-1} | ||
− | </math> (16) | + | .</math> (16) |
Выведем систему нелинейных УУН для сети переменного тока в прямоугольных координатах в форме баланса мощностей. Для этого домножим систему (13) на <math>\hat{U}</math>, получаем: | Выведем систему нелинейных УУН для сети переменного тока в прямоугольных координатах в форме баланса мощностей. Для этого домножим систему (13) на <math>\hat{U}</math>, получаем: | ||
− | : <math>\displaystyle \begin{cases}\hat{U}\sum_{k=1}^{N}\underline{Y}_{ik}\dot{U}_{k}=\hat{S}, i=1..(N-1)\end{cases}</math> (17) | + | : <math>\displaystyle \begin{cases}\hat{U}\sum_{k=1}^{N}\underline{Y}_{ik}\dot{U}_{k}=\hat{S}, i=1..(N-1)\end{cases}.</math> (17) |
Подставляем (1), (3), (12) в (17): | Подставляем (1), (3), (12) в (17): | ||
− | : <math>\displaystyle \begin{cases}\left(U_i'-jU_i''\right)\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}+jb_{ik}\right)\left(U_{k}'+jU_{k}''\right)=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1)</math> | + | : <math>\displaystyle \begin{cases}\left(U_i'-jU_i''\right)\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}+jb_{ik}\right)\left(U_{k}'+jU_{k}''\right)=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1).</math> |
Вносим сопряженный комплекс напряжения под знак суммы и группируем относительно <math>j</math>, имеем: | Вносим сопряженный комплекс напряжения под знак суммы и группируем относительно <math>j</math>, имеем: | ||
− | : <math>\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(\left(g_{ik}U_k'U_i'-b_{ik}U_k''U_i'+g_{ik}U_k''U_i''+b_{ik}U_k'U_i''\right)+j\left(g_{ik}U_k''U_i'+b_{ik}U_k'U_i'-g_{ik}U_k'U_i''+b_{ik}U_k''U_i''\right)\right)=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1)</math> (18) | + | : <math>\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(\left(g_{ik}U_k'U_i'-b_{ik}U_k''U_i'+g_{ik}U_k''U_i''+b_{ik}U_k'U_i''\right)+j\left(g_{ik}U_k''U_i'+b_{ik}U_k'U_i'-g_{ik}U_k'U_i''+b_{ik}U_k''U_i''\right)\right)=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1).</math> (18) |
Преобразуем систему (18) к виду, аналогичному системе (15), и получаем нелинейную систему УУН для сети переменного тока '''в прямоугольных координатах в форме баланса мощностей:''' | Преобразуем систему (18) к виду, аналогичному системе (15), и получаем нелинейную систему УУН для сети переменного тока '''в прямоугольных координатах в форме баланса мощностей:''' | ||
Строка 214: | Строка 214: | ||
\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}\left(U_k'U_i'+U_k''U_i''\right)-b_{ik}\left(U_k''U_i'-U_k'U_i''\right)\right)=P_i \\ | \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}\left(U_k'U_i'+U_k''U_i''\right)-b_{ik}\left(U_k''U_i'-U_k'U_i''\right)\right)=P_i \\ | ||
\sum_{k=1}^{N}\left(b_{ik}\left(U_k'U_i'+U_k''U_i''\right)+g_{ik}\left(U_k''U_i'-U_k'U_i''\right)\right)=-Q_i | \sum_{k=1}^{N}\left(b_{ik}\left(U_k'U_i'+U_k''U_i''\right)+g_{ik}\left(U_k''U_i'-U_k'U_i''\right)\right)=-Q_i | ||
− | \end{cases}, i=1..(N-1)</math> (19) '''форма баланса мощностей''' | + | \end{cases}, i=1..(N-1)</math> (19) '''форма баланса мощностей'''. |
Строка 221: | Строка 221: | ||
Как известно, комплексное число можно представить в алгебраической, показательной и тригонометрической формах: | Как известно, комплексное число можно представить в алгебраической, показательной и тригонометрической формах: | ||
− | : <math>\displaystyle \dot{U_k}=U_k'+jU_k''=V_ke^{jδ_k}=V_k\left(cos(δ_k)+jsin(δ_k)\right)</math> | + | : <math>\displaystyle \dot{U_k}=U_k'+jU_k''=V_ke^{jδ_k}=V_k\left(cos(δ_k)+jsin(δ_k)\right).</math> |
Для того, чтобы вывести УУН в форме баланса токов в полярной системе координат, необходимо в систему (13) подставить тригонометрическую запись комплексного числа <math>\dot{U_k}</math>. Выполнив это, получим: | Для того, чтобы вывести УУН в форме баланса токов в полярной системе координат, необходимо в систему (13) подставить тригонометрическую запись комплексного числа <math>\dot{U_k}</math>. Выполнив это, получим: | ||
− | : <math>\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}+jb_{ik}\right)V_k\left(cos(δ_k)+jsin(δ_k)\right)=\frac{P_i-jQ_i}{V_k\left(cos(δ_k)+jsin(δ_k)\right)}\end{cases}, i=1..(N-1)</math> | + | : <math>\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}+jb_{ik}\right)V_k\left(cos(δ_k)+jsin(δ_k)\right)=\frac{P_i-jQ_i}{V_k\left(cos(δ_k)+jsin(δ_k)\right)}\end{cases}, i=1..(N-1).</math> |
Выносим множитель <math>V_k</math> за знак суммы, правую часть домножаем на сопряженное и группируем левую часть относительно <math>j</math>: | Выносим множитель <math>V_k</math> за знак суммы, правую часть домножаем на сопряженное и группируем левую часть относительно <math>j</math>: | ||
− | : <math>\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(\left(g_{ik}cos(δ_k)-b_{ik}sin(δ_k)\right)+j\left(g_{ik}sin(δ_k)+b_{ik}cos(δ_k)\right)\right)=\frac{(P_i-jQ_i)(cos(δ_k)-jsin(δ_k))}{V_k(cos^2(δ_k)+sin^2(δ_k)}\end{cases}, i=1..(N-1)</math> | + | : <math>\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(\left(g_{ik}cos(δ_k)-b_{ik}sin(δ_k)\right)+j\left(g_{ik}sin(δ_k)+b_{ik}cos(δ_k)\right)\right)=\frac{(P_i-jQ_i)(cos(δ_k)-jsin(δ_k))}{V_k(cos^2(δ_k)+sin^2(δ_k)}\end{cases}, i=1..(N-1).</math> |
Группируем правую часть относительно <math>j</math>: | Группируем правую часть относительно <math>j</math>: | ||
− | : <math>\displaystyle \begin{cases}V_k\sum_{k=1}^{N}\left(\left(g_{ik}cos(δ_k)-b_{ik}sin(δ_k)\right)+j\left(g_{ik}sin(δ_k)+b_{ik}cos(δ_k)\right)\right)=\frac{P_icos(δ_k)+Q_isin(δ_k)}{V_k}+j\frac{-P_isin(δ_k)-Q_icos(δ_k)}{V_k}\end{cases}, i=1..(N-1)</math> (20) | + | : <math>\displaystyle \begin{cases}V_k\sum_{k=1}^{N}\left(\left(g_{ik}cos(δ_k)-b_{ik}sin(δ_k)\right)+j\left(g_{ik}sin(δ_k)+b_{ik}cos(δ_k)\right)\right)=\frac{P_icos(δ_k)+Q_isin(δ_k)}{V_k}+j\frac{-P_isin(δ_k)-Q_icos(δ_k)}{V_k}\end{cases}, i=1..(N-1).</math> (20) |
Преобразуем систему (20) к виду, аналогичному системе (15), и получаем нелинейную систему УУН для сети переменного тока '''в полярных координатах в форме баланса токов:''' | Преобразуем систему (20) к виду, аналогичному системе (15), и получаем нелинейную систему УУН для сети переменного тока '''в полярных координатах в форме баланса токов:''' | ||
Строка 240: | Строка 240: | ||
V_k\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}cos(δ_k)-b_{ik}sin(δ_k)\right)=\frac{P_icos(δ_k)+Q_isin(δ_k)}{V_k} \\ | V_k\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}cos(δ_k)-b_{ik}sin(δ_k)\right)=\frac{P_icos(δ_k)+Q_isin(δ_k)}{V_k} \\ | ||
V_k\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}sin(δ_k)+b_{ik}cos(δ_k)\right)=\frac{-(P_isin(δ_k)+Q_icos(δ_k))}{V_k} | V_k\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}sin(δ_k)+b_{ik}cos(δ_k)\right)=\frac{-(P_isin(δ_k)+Q_icos(δ_k))}{V_k} | ||
− | \end{cases}, i=1..(N-1)</math> (21) '''форма баланса токов''' | + | \end{cases}, i=1..(N-1)</math> (21) '''форма баланса токов'''. |
Для того, чтобы вывести УУН в форме баланса мощностей в полярной системе координат, необходимо в систему (17) подставить показательную запись комплексного числа <math>\dot{U_k}</math>. Выполнив это, получим: | Для того, чтобы вывести УУН в форме баланса мощностей в полярной системе координат, необходимо в систему (17) подставить показательную запись комплексного числа <math>\dot{U_k}</math>. Выполнив это, получим: | ||
: <math>\displaystyle \begin{cases} | : <math>\displaystyle \begin{cases} | ||
− | V_ie^{-jδ_i}\sum_{k=1}^{N}(g_{ik}+jb_{ik})V_ke^{jδ_k}=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1)</math> | + | V_ie^{-jδ_i}\sum_{k=1}^{N}(g_{ik}+jb_{ik})V_ke^{jδ_k}=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1).</math> |
Переносим экспоненты в одну сторону, модули напряжений - в другую: | Переносим экспоненты в одну сторону, модули напряжений - в другую: | ||
: <math>\displaystyle \begin{cases} | : <math>\displaystyle \begin{cases} | ||
− | V_iV_k\sum_{k=1}^{N}(g_{ik}+jb_{ik})e^{jδ_k}e^{-jδ_i}=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1)</math> | + | V_iV_k\sum_{k=1}^{N}(g_{ik}+jb_{ik})e^{jδ_k}e^{-jδ_i}=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1).</math> |
Используя свойство степеней, выполним преобразования: | Используя свойство степеней, выполним преобразования: | ||
: <math>\displaystyle \begin{cases} | : <math>\displaystyle \begin{cases} | ||
− | V_iV_k\sum_{k=1}^{N}(g_{ik}+jb_{ik})e^{j(δ_k-δ_i)}=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1)</math> | + | V_iV_k\sum_{k=1}^{N}(g_{ik}+jb_{ik})e^{j(δ_k-δ_i)}=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1).</math> |
Переходим к тригонометрической форме: | Переходим к тригонометрической форме: | ||
: <math>\displaystyle \begin{cases} | : <math>\displaystyle \begin{cases} | ||
− | V_iV_k\sum_{k=1}^{N}(g_{ik}+jb_{ik})(cos(δ_k-δ_i)+jsin(δ_k-δ_i)=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1)</math> | + | V_iV_k\sum_{k=1}^{N}(g_{ik}+jb_{ik})(cos(δ_k-δ_i)+jsin(δ_k-δ_i)=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1).</math> |
Группируем относительно <math>j</math>: | Группируем относительно <math>j</math>: | ||
: <math>\displaystyle \begin{cases} | : <math>\displaystyle \begin{cases} | ||
− | V_iV_k\sum_{k=1}^{N}\left((g_{ik}cos(δ_k-δ_i)-b_{ik}sin(δ_k-δ_i))+j\left(g_{ik}sin(δ_k-δ_i)+b_{ik}cos(δ_k-δ_i)\right)\right)=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1)</math> (22) | + | V_iV_k\sum_{k=1}^{N}\left((g_{ik}cos(δ_k-δ_i)-b_{ik}sin(δ_k-δ_i))+j\left(g_{ik}sin(δ_k-δ_i)+b_{ik}cos(δ_k-δ_i)\right)\right)=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1).</math> (22) |
Преобразуем систему (22) к виду, аналогичному системе (21), и получаем нелинейную систему УУН для сети переменного тока '''в полярных координатах в форме баланса мощностей:''' | Преобразуем систему (22) к виду, аналогичному системе (21), и получаем нелинейную систему УУН для сети переменного тока '''в полярных координатах в форме баланса мощностей:''' | ||
Строка 272: | Строка 272: | ||
V_iV_k\sum_{k=1}^{N}\left((g_{ik}cos(δ_k-δ_i)-b_{ik}sin(δ_k-δ_i)\right)=P_i \\ | V_iV_k\sum_{k=1}^{N}\left((g_{ik}cos(δ_k-δ_i)-b_{ik}sin(δ_k-δ_i)\right)=P_i \\ | ||
V_iV_k\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}sin(δ_k-δ_i)+b_{ik}cos(δ_k-δ_i)\right)=-Q_i | V_iV_k\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}sin(δ_k-δ_i)+b_{ik}cos(δ_k-δ_i)\right)=-Q_i | ||
− | \end{cases}, i=1..(N-1)</math> (23) '''форма баланса мощностей''' | + | \end{cases}, i=1..(N-1)</math> (23) '''форма баланса мощностей'''. |
=Методы решения= | =Методы решения= |
Версия 16:44, 7 января 2019
Уравнения узловых напряжений - метод расчёта установившегося режима электрической сети на основе системы нелинейных (иногда линейных) алгебраических уравнений, в которых неизвестными являются уравнения в узлах электрической сети.
Содержание
Описание
Уравнения баланса токов представляют собой простейшую форму уравнений, описывающих установившиеся режимы. Существуют две математические модели уравнений узловых напряжений:
- линейная;
- нелинейная.
Отличительной особенностью этих моделей является то, что линейная модель предполагает задание комплексных значений токов, в отличие от нелинейной модели, которая предполагает задание активной и реактивной мощностей. В практической сфере, в расчётах нагрузки задаются активной и реактивной мощностями, поэтому обычно используется нелинейная модель.
Вывод уравнений узловых напряжений (УУН)
Для формирования УУН рассмотрим представленную на рис. 1 часть схемы замещения:
Первый закон Кирхгофа для к-го узла:
- [math]\displaystyle \dot{J_k}+\dot{J}_{k(sh)}+\sum_{m∈k}\dot{J}_{km(sh)}+\sum_{m∈k}\dot{J}_{km}=0, (1.1)[/math]
- где [math]m∈k[/math] означает, что любой узел [math]m[/math] связан с узлом [math]k[/math];
- [math]\displaystyle \dot{J_k}[/math] - ток нагрузки в узле [math]k[/math];
- [math]\displaystyle \dot{J}_{k(sh)}[/math] - ток шунта, подключенного к узлу [math]k[/math];
- [math]\displaystyle \dot{J}_{km(sh)}[/math] - ток, протекающий через поперечные проводимости ЛЭП или трансформатора [math]km[/math], подсоединенные к узлу [math]k[/math];
- [math]\displaystyle \dot{J}_{km}[/math] - ток продольной ветви [math]km[/math] ЛЭП или трансформатора от узла [math]k[/math].
- ветвь, моделирующая шунтовые проводимости:
- [math]\displaystyle \dot{J}_{k(sh)}=\dot{U_k}\underline{Y}_{km(sh)},[/math]
- ветвь, не содержащая трансформаторов:
- [math]\displaystyle \dot{J}_{km}=\frac{\dot{U_k}-\dot{U_m}}{\underline{Z}_{km}},[/math]
- трансформаторная ветвь [math]k2[/math], сопротивление [math]\underline{Z}_{k2}[/math] которой приведено к узлу [math]k[/math]:
- [math]\displaystyle \dot{J}_{k2}=\frac{\dot{U_k}-\frac{\dot{U_2}}{\dot{k}_{k2}}}{\underline{Z}_{k2}},[/math]
- трансформаторная ветвь [math]k1[/math], сопротивление [math]\underline{Z}_{k1}[/math] которой приведено к смежному узлу [math]1[/math]:
- [math]\displaystyle \dot{J}_{k1}=\frac{1}{\hat{k}_{k1}}\frac{\frac{\dot{U_k}}{\dot{k}_{k1}}-\dot{U_1}}{\underline{Z}_{k1}}.[/math]
Наличие знака сопряжения в этом выражении обусловлено тем, что для идеального двухобмоточного трансформатора выполняется закон сохранения мощности [math]\dot{S_н}=\dot{S_в}=\hat{I_н}\dot{U_н}=\hat{I_в}\dot{U_в}[/math], где индексами "Н" и "В" обозначены соответственно низшая и высшая обмотки трансформатора, поэтому, если [math]\dot{U_в}=\dot{U_н}\dot{K_{вн}}[/math], то из закона сохранения следует:
- [math]\displaystyle \dot{I_в}=\dot{I_н}\frac{\hat{U_н}}{\hat{U_в}}=\frac{\dot{I_н}}{\hat{k}_{вн}}.[/math]
Подстановка полученных выражений в уравнение (1.1) с приведением подобных членов позволяет получить уравнение для k-го узла в виде:
- [math]\displaystyle \underline{y}_{ii}\dot{U_i}+\sum_{m∈k}\underline{y}_{ik}\dot{U_k}=\dot{I_k}[/math].
В прямоугольной системе координат
В данной системе комплексные величины [math]\displaystyle \underline{y}_{ik}, \dot{U_{j}}, \dot{J_{i}}[/math] представляются в виде
- [math]\displaystyle \dot{U_{k}}=U_{k}'+jU_{k}''[/math], (1)
- [math]\displaystyle \dot{J_{i}}=J_{i}'+jJ_{i}''[/math], (2)
для проводимости справедливо следующее:
- [math]\displaystyle \underline{y}=\frac{1}{\underline{z}}=\frac{1}{r+jx}=\frac{r-jx}{(r+jx)(r-jx)}=\frac{r-jx}{r^2+x^2}=\frac{r}{r^2+x^2}-j\frac{x}{r^2+x^2}=\frac{r}{|\underline{z}|^2}-j\frac{x}{|\underline{z}|^2} \Rightarrow g=\frac{r}{|\underline{z}|^2}; b=\frac{x}{|\underline{z}|^2},[/math]
получаем, что [math]\displaystyle \underline{y}=g-jb,[/math]
но для удобства расчета матрицы проводимостей будем использовать соотношение
- [math]\displaystyle\underline{y}=g+jb[/math] (3), тогда
- [math]\displaystyle \underline{y}_{ik}=g_{ik}+jb_{ik};[/math] [math]\underline{y}_{ii}=g_{ii}+jb_{ii};[/math]
- [math]\displaystyle g_{ii}=-\sum_{j=1,j\neq{i}}^Ng_{ik};[/math] [math]b_{ii}=-\sum_{j=1,j\neq{i}}^Nb_{ik}.[/math]
Запишем УУН для линейной ЭЭС:
- [math]\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\underline{Y}_{ik}\dot{U}_{k}=\dot{J}_{i}-\underline{Y}_{iб}\dot{U}_{б}, i=1..N\end{cases}[/math] (4)
левая часть данной системы характеризует токи, втекающие в k-й узел, правая часть - токи, вытекающие из того же узла, но с учетом влияния токов базы.
Подставляем (1), (2), (3) в (4), [math]\dot{U}_б[/math] представим аналогично уравнению (1), тогда имеем следующее:
- [math]\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}+jb_{ik}\right)\left(U_{k}'+jU_{k}''\right)=J_{i}'+jJ_{i}''-\left(g_{iб}+jb_{iб}\right)\left(U_{б}'+jU_{б}''\right), i=1..N\end{cases},[/math]
сгруппируем и приведем подобные:
- [math]\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)+j\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)=J_{i}'+jJ_{i}''-\left(\left(g_{iб}U_б'-b_{iб}U_б''\right)+j\left(g_{iб}U_б''+b_{iб}U_б'\right)\right), i=1..N\end{cases}[/math](5).
Сгруппируем относительно [math]j[/math] левую и правую части системы (5). Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые составляющие. Распишем в новой системе отдельно действительные и мнимые части. Получаем:
- [math]\displaystyle \begin{cases} \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)=J_{i}'-\left(g_{iб}U_б'-b_{iб}U_б''\right), i=1..N\\ \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)=J_{i}''-\left(g_{iб}U_б''+b_{iб}U_б'\right), i=1..N \end{cases}[/math] (6)
Представим данную систему (6) в матричной форме:
- [math]\displaystyle \begin{pmatrix} \bar{\bar{G}} & -\bar{\bar{B}} \\ \bar{\bar{B}} & \bar{\bar{G}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{U'} \\ \vec{U''} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \vec{J'} \\ \vec{J''} \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} \vec{G_б} & -\vec{B_б} \\ \vec{B_б} & \vec{G_б} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{U_б'} \\ \vec{U_б''} \end{pmatrix}. [/math] (7)
В случае, если [math]\dot{U}_б=U_б+j0,[/math] система (6) преобразуется к виду:
- [math]\displaystyle \begin{cases} \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)=J_{i}'-g_{iб}U_б, i=1..N\\ \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)=J_{i}''-b_{iб}U_б, i=1..N \end{cases}.[/math] (8)
Соответственно упрощается матричная форма записи системы (8):
- [math]\displaystyle \begin{pmatrix} \bar{\bar{G}} & -\bar{\bar{B}} \\ \bar{\bar{B}} & \bar{\bar{G}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{U'} \\ \vec{U''} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \vec{J'} \\ \vec{J''} \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} \vec{G_б} \\ \vec{B_б} \end{pmatrix} U_б .[/math] (9)
Вернемся к нелинейной модели ЭЭС. Для этого перенесем составляющую токов базы системы (4) в левую часть, изменив при этом диапазон [math]i=1..(N-1)[/math]. Получаем:
- [math]\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\underline{Y}_{ik}\dot{U}_{k}=\dot{J}_{i}, i=1..(N-1)\end{cases}.[/math] (10)
Как известно,
- [math]\displaystyle \dot{S}=\dot{U}\hat{J}[/math], отсюда [math]\hat{J}=\frac{\dot{S}}{\dot{U}}[/math] или [math]\dot{J}=\frac{\hat{S}}{\hat{U}}.[/math] (11)
Добавим, что [math]\dot{S}=P+jQ.[/math] (12)
Подставляем (11) в выражение (10), получаем следующее:
- [math]\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\underline{Y}_{ik}\dot{U}_{k}=\frac{\hat{S}}{\hat{U}}, i=1..(N-1)\end{cases}.[/math] (13)
Подставляем (1), (3), (12) в (13), получаем:
- [math]\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}+jb_{ik}\right)\left(U_{k}'+jU_{k}''\right)=\frac{P-jQ}{U_i'-jU_i''}, i=1..(N-1)\end{cases}.[/math]
Раскрываем скобки, домножаем правую часть на сопряженное и группируем относительно [math]j[/math]:
- [math]\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''+j\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)\right)=\frac{P_iU_i'+Q_iU_i''+j\left(P_iU_i''-Q_iU_i'\right)}{U_i'^2+U_i''^2}, i=1..(N-1)\end{cases}.[/math]
Вынесем [math]j[/math] за знак суммы в левой части, а в правой части разобьем дробное выражение на две составляющие относительно [math]j[/math], получим:
- [math]\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)+j\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)=\frac{P_iU_i'+Q_iU_i''}{U_i'^2+U_i''^2}+j\frac{P_iU_i''-Q_iU_i'}{U_i'^2+U_i''^2}, i=1..(N-1)\end{cases}.[/math] (14)
Преобразуем систему (14) к виду, аналогичному системе (8), и получаем нелинейную систему УУН для сети переменного тока в прямоугольных координатах в форме баланса токов:
- [math]\displaystyle \begin{cases} \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)=\frac{P_iU_i'+Q_iU_i''}{U_i'^2+U_i''^2} \\ \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)=\frac{P_iU_i''-Q_iU_i'}{U_i'^2+U_i''^2} \end{cases}, i=1..(N-1)[/math] (15) форма баланса токов.
Матричная запись системы (15):
- [math]\displaystyle \begin{pmatrix} \bar{\bar{G}} & -\bar{\bar{B}} \\ \bar{\bar{B}} & \bar{\bar{G}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{U'} \\ \vec{U''} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} P_i & Q_i \\ -Q_i & P_i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} U_i' \\ U_i'' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} U_i'^2+U_i''^2 \end{pmatrix}^{-1} .[/math] (16)
Выведем систему нелинейных УУН для сети переменного тока в прямоугольных координатах в форме баланса мощностей. Для этого домножим систему (13) на [math]\hat{U}[/math], получаем:
- [math]\displaystyle \begin{cases}\hat{U}\sum_{k=1}^{N}\underline{Y}_{ik}\dot{U}_{k}=\hat{S}, i=1..(N-1)\end{cases}.[/math] (17)
Подставляем (1), (3), (12) в (17):
- [math]\displaystyle \begin{cases}\left(U_i'-jU_i''\right)\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}+jb_{ik}\right)\left(U_{k}'+jU_{k}''\right)=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1).[/math]
Вносим сопряженный комплекс напряжения под знак суммы и группируем относительно [math]j[/math], имеем:
- [math]\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(\left(g_{ik}U_k'U_i'-b_{ik}U_k''U_i'+g_{ik}U_k''U_i''+b_{ik}U_k'U_i''\right)+j\left(g_{ik}U_k''U_i'+b_{ik}U_k'U_i'-g_{ik}U_k'U_i''+b_{ik}U_k''U_i''\right)\right)=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1).[/math] (18)
Преобразуем систему (18) к виду, аналогичному системе (15), и получаем нелинейную систему УУН для сети переменного тока в прямоугольных координатах в форме баланса мощностей:
- [math]\displaystyle \begin{cases} \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}\left(U_k'U_i'+U_k''U_i''\right)-b_{ik}\left(U_k''U_i'-U_k'U_i''\right)\right)=P_i \\ \sum_{k=1}^{N}\left(b_{ik}\left(U_k'U_i'+U_k''U_i''\right)+g_{ik}\left(U_k''U_i'-U_k'U_i''\right)\right)=-Q_i \end{cases}, i=1..(N-1)[/math] (19) форма баланса мощностей.
В полярной системе координат
Как известно, комплексное число можно представить в алгебраической, показательной и тригонометрической формах:
- [math]\displaystyle \dot{U_k}=U_k'+jU_k''=V_ke^{jδ_k}=V_k\left(cos(δ_k)+jsin(δ_k)\right).[/math]
Для того, чтобы вывести УУН в форме баланса токов в полярной системе координат, необходимо в систему (13) подставить тригонометрическую запись комплексного числа [math]\dot{U_k}[/math]. Выполнив это, получим:
- [math]\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}+jb_{ik}\right)V_k\left(cos(δ_k)+jsin(δ_k)\right)=\frac{P_i-jQ_i}{V_k\left(cos(δ_k)+jsin(δ_k)\right)}\end{cases}, i=1..(N-1).[/math]
Выносим множитель [math]V_k[/math] за знак суммы, правую часть домножаем на сопряженное и группируем левую часть относительно [math]j[/math]:
- [math]\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(\left(g_{ik}cos(δ_k)-b_{ik}sin(δ_k)\right)+j\left(g_{ik}sin(δ_k)+b_{ik}cos(δ_k)\right)\right)=\frac{(P_i-jQ_i)(cos(δ_k)-jsin(δ_k))}{V_k(cos^2(δ_k)+sin^2(δ_k)}\end{cases}, i=1..(N-1).[/math]
Группируем правую часть относительно [math]j[/math]:
- [math]\displaystyle \begin{cases}V_k\sum_{k=1}^{N}\left(\left(g_{ik}cos(δ_k)-b_{ik}sin(δ_k)\right)+j\left(g_{ik}sin(δ_k)+b_{ik}cos(δ_k)\right)\right)=\frac{P_icos(δ_k)+Q_isin(δ_k)}{V_k}+j\frac{-P_isin(δ_k)-Q_icos(δ_k)}{V_k}\end{cases}, i=1..(N-1).[/math] (20)
Преобразуем систему (20) к виду, аналогичному системе (15), и получаем нелинейную систему УУН для сети переменного тока в полярных координатах в форме баланса токов:
- [math]\displaystyle \begin{cases} V_k\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}cos(δ_k)-b_{ik}sin(δ_k)\right)=\frac{P_icos(δ_k)+Q_isin(δ_k)}{V_k} \\ V_k\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}sin(δ_k)+b_{ik}cos(δ_k)\right)=\frac{-(P_isin(δ_k)+Q_icos(δ_k))}{V_k} \end{cases}, i=1..(N-1)[/math] (21) форма баланса токов.
Для того, чтобы вывести УУН в форме баланса мощностей в полярной системе координат, необходимо в систему (17) подставить показательную запись комплексного числа [math]\dot{U_k}[/math]. Выполнив это, получим:
- [math]\displaystyle \begin{cases} V_ie^{-jδ_i}\sum_{k=1}^{N}(g_{ik}+jb_{ik})V_ke^{jδ_k}=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1).[/math]
Переносим экспоненты в одну сторону, модули напряжений - в другую:
- [math]\displaystyle \begin{cases} V_iV_k\sum_{k=1}^{N}(g_{ik}+jb_{ik})e^{jδ_k}e^{-jδ_i}=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1).[/math]
Используя свойство степеней, выполним преобразования:
- [math]\displaystyle \begin{cases} V_iV_k\sum_{k=1}^{N}(g_{ik}+jb_{ik})e^{j(δ_k-δ_i)}=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1).[/math]
Переходим к тригонометрической форме:
- [math]\displaystyle \begin{cases} V_iV_k\sum_{k=1}^{N}(g_{ik}+jb_{ik})(cos(δ_k-δ_i)+jsin(δ_k-δ_i)=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1).[/math]
Группируем относительно [math]j[/math]:
- [math]\displaystyle \begin{cases} V_iV_k\sum_{k=1}^{N}\left((g_{ik}cos(δ_k-δ_i)-b_{ik}sin(δ_k-δ_i))+j\left(g_{ik}sin(δ_k-δ_i)+b_{ik}cos(δ_k-δ_i)\right)\right)=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1).[/math] (22)
Преобразуем систему (22) к виду, аналогичному системе (21), и получаем нелинейную систему УУН для сети переменного тока в полярных координатах в форме баланса мощностей:
- [math]\displaystyle \begin{cases} V_iV_k\sum_{k=1}^{N}\left((g_{ik}cos(δ_k-δ_i)-b_{ik}sin(δ_k-δ_i)\right)=P_i \\ V_iV_k\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}sin(δ_k-δ_i)+b_{ik}cos(δ_k-δ_i)\right)=-Q_i \end{cases}, i=1..(N-1)[/math] (23) форма баланса мощностей.
Методы решения
Основные методы решения системы уравнений узловых напряжений:
- Метод Гаусса-Зейделя - это один из самых первых разработанных методов. Обычно показывает более медленную сходимость по сравнению с другими итерационными методами. Основным преимуществом является малое использование памяти и не требуется матричная алгебра.
- Метод Якоби.
- Метод Z-матриц.
- Метод Ньютона-Рафсона - один из самых популярных методов решения, основанный на разложении в ряд Тейлора.
- Метод голоморфного встраивания - прямой метод расчёта на основе комплексного анализа.
Литература
- Вычислительные модели потокораспределения в электрических системах / Б. И. Аюев [и др.] ; под ред. П. И. Бартоломея. - Москва : Флинта : Наука, 2008. - 254, [1] с. : ил., табл.; 22 см.; ISBN 978-5-9765-0697-8.
- Powell L. Power System Load Flow Analysis. McGraw Hill Professional. - 2004.
- Wang, Xi-Fan, Song, Y.H., Irving, M. Modern power systems analysis, Springer Science, New York, 2008.