Уравнение движения генератора — различия между версиями
Windsl (обсуждение | вклад) (→Комментарии к получившимся системам уравнений) |
Windsl (обсуждение | вклад) |
||
(не показано 19 промежуточных версий 3 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | + | Расчёт уравнений движения [[генератор]]а в ходе [[Электромеханический переходный процесс|электромеханического переходного процесса]] в относительных единицах. | |
− | + | = Общие положения = | |
− | + | Все величины в настоящей статье, за исключением разделов, где явно указано обратное, измеряются в [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8B_%D0%A1%D0%98 единицах измерения СИ]. Переменная <math> t\in \mathbb{R} </math> - время, единицей измерения которого является, <math>[s]</math>. Величины, меняющиеся во времени, представлены функциями, областью определения которых является время. При определении указываются единицы измерения области значений функций от времени. Область их определения всегда имеет единицу измерения <math>[s]</math>. | |
− | + | =Уравнение движения в абсолютных единицах= | |
− | + | Генераторный агрегат - механическая система, состоящая из статора генератора, подключенного к [[Электрическая сеть|электрической сети]], вращающихся ротора генератора и ротора турбины. Ротор генератора имеет механическую связь с ротором турбины. К ротору генератора приложены моменты электромагнитных сил от статора генератора и момент от ротора турбины. | |
− | В общем случае, ротор турбины может быть механически связан с ротором генератора через редуктор, или через вал. Обозначим за <math>n_{rd} \in \mathbb{R}_+^*</math> передаточное отношение редуктора. Очевидно, что <math>n_{rd}</math> остается постоянным в любой момент времени. Если ротор турбины связан с ротором генератора через вал, тогда <math>n_{rd}=1</math>. Стоит отметить, что механическая связь ротора генератора и ротора турбины посредством редуктора | + | ==Описание механической модели генераторного агрегата== |
+ | |||
+ | В общем случае, ротор турбины может быть механически связан с ротором генератора через редуктор, или через вал. Обозначим за <math>n_{rd} \in \mathbb{R}_+^*</math> передаточное отношение [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%83%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80 редуктора]. Очевидно, что <math>n_{rd}</math> остается постоянным в любой момент времени. Если ротор турбины связан с ротором генератора через вал, тогда <math>n_{rd}=1</math>. Стоит отметить, что механическая связь ротора генератора и ротора турбины посредством [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%83%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80 редуктора] - явление крайне редкое, ввиду низкой надежности подобной связи и снижения общего [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F КПД] установки ввиду механических потерь в редукторе, однако, для общего случая, рассмотрим и ее. | ||
Параметрами состояния в модели электромеханической системы генераторного агрегата, в общем случае, будем считать: | Параметрами состояния в модели электромеханической системы генераторного агрегата, в общем случае, будем считать: | ||
− | * | + | * <math>\displaystyle \delta_G(t) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> - угол поворота ротора генератора относительно условно-нулевого положения, измеряемый в <math>[rad]</math>, |
− | * | + | * <math>\displaystyle \delta_T(t) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> - угол поворота ротора турбины относительно условно-нулевого положения, измеряемый в <math>[rad]</math>, |
− | * | + | * <math>\displaystyle \omega_{G}(t)\equiv d \delta_G(t)/d t</math> - угловая частота ротора генератора, измеряемая в <math>[rad/s]</math>, |
− | * | + | * <math>\displaystyle \omega_{T}(t)\equiv d \delta_T(t)/d t</math> - угловая частота ротора турбины, измеряемая в <math>[rad/s]</math>. |
Зададим условно-нулевое положение ротора турбины и ротора генератора таким образом, что | Зададим условно-нулевое положение ротора турбины и ротора генератора таким образом, что | ||
− | <math>\delta_G(0)=\delta_T(0)=0</math>. | + | <math>\displaystyle \delta_G(0)=\delta_T(0)=0</math>. |
Параметрами модели электромеханической системы генераторного агрегата будем считать: | Параметрами модели электромеханической системы генераторного агрегата будем считать: | ||
− | * | + | * <math>\displaystyle J_G \in \mathbb{R}_+^*</math> - момент инерции ротора генератора, измеряемый в <math>[kg\cdot m^2]</math>, |
− | * | + | * <math>\displaystyle J_T \in \mathbb{R}_+^*</math> - момент инерции ротора турбины, измеряемый в <math>[kg\cdot m^2]</math>. |
− | * | + | * <math>\displaystyle n_{rd} \equiv \omega_{T}(t)/\omega_{G}(t)\in \mathbb{R}_+^*</math> - передаточное отношение редуктора, величина безразмерная. |
Внешними параметрами модели электромеханической системы генераторного агрегата будем считать: | Внешними параметрами модели электромеханической системы генераторного агрегата будем считать: | ||
− | * | + | * <math>T_T(t): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> - момент, действующий со стороны ротора турбины на ротор генератора, измеряемый в <math>[N\cdot m]</math>, |
− | * | + | * <math>T_E(t): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> - момент, действующий со стороны электромагнитного поля генератора на ротор генератора, измеряемый в <math>[N\cdot m]</math>. |
В системе единиц СИ общая система уравнений, описывающих движение элементов агрегата, выглядит следующим образом: | В системе единиц СИ общая система уравнений, описывающих движение элементов агрегата, выглядит следующим образом: | ||
− | \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_Torque_Full1} | + | \begin{equation}\displaystyle \label{Motion_Eq_SI_Torque_Full1} |
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
J_G \cdot \frac{d \omega_G(t)}{dt} + J_T \cdot \frac{d \omega_T(t)}{dt} = T_T(t) - T_E(t), | J_G \cdot \frac{d \omega_G(t)}{dt} + J_T \cdot \frac{d \omega_T(t)}{dt} = T_T(t) - T_E(t), | ||
Строка 47: | Строка 49: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | + | ==Преобразование модели генераторного агрегата== | |
+ | |||
+ | Из четвертого уравнения (\ref{Motion_Eq_SI_Torque_Full1}) следует, что | ||
+ | |||
+ | <math>\displaystyle \omega_{T}(t)=n_{rd}\cdot \omega_{G}(t)</math>. | ||
− | + | Подставим это выражение в первое и третье уравнения системы. Перепишем систему (\ref{Motion_Eq_SI_Torque_Full1}) | |
\begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_Torque_Full2} | \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_Torque_Full2} | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
Строка 60: | Строка 66: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Заметим, что из второго и третьего уравнений системы (\ref{Motion_Eq_SI_Torque_Full2}) следует, что | + | Заметим, что из второго и третьего уравнений системы (\ref{Motion_Eq_SI_Torque_Full2}) следует, что <math>\displaystyle \delta_T(t) = \delta_G(t)/n_{rd}</math>. Из этого следует, что <math>\displaystyle \delta_T(t)</math> можно сделать зависимой переменной и изъять из рассмторения, ввиду того, что её значение можно легко вычислить для любого момента времени из <math>\displaystyle \delta_G(t)</math>. Полученная система уравнений выглядит следующим образом: |
\begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_Torque_Full3} | \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_Torque_Full3} | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
Строка 69: | Строка 75: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Для практических | + | Для практических расчётов, когда в рассмотрение берутся несколько [[генератор]]ов, связанных электрической сетью с частотой <math>\displaystyle f_{nom}=50[Hz]</math> и угловой частотой <math>\displaystyle \omega_{nom}=2\cdot \pi \cdot f_{nom}</math>, удобным оказывается учесть, что, в общем случае, ротор генератора может нормально вращаться с номинальной угловой частотой <math>\displaystyle \omega_{G.nom} \in \mathbb{R}_+^*</math>, отличной от номинальной угловой частоты электрической сети <math>\displaystyle \omega_{nom}</math>. Такое происходит, когда на генераторе число пар полюсов <math>\displaystyle n_{sm}\equiv \omega_{nom}/\omega_{G.nom}</math> отличается от <math>\displaystyle 1</math>. Число пар полюсов <math>\displaystyle n_{sm}\in \mathbb{N}</math> является безразмерной величиной. Обычно на турбогенераторах число пар полюсов <math>\displaystyle n_{sm}=1</math>, на гидрогенераторах обычно <math>\displaystyle n_{sm}>1</math>. |
Введем переменные состояния такие, что | Введем переменные состояния такие, что | ||
Строка 105: | Строка 111: | ||
J=\frac{1}{n_{sm}}\cdot \left(J_G + n_{rd}\cdot J_T \right), | J=\frac{1}{n_{sm}}\cdot \left(J_G + n_{rd}\cdot J_T \right), | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | являющуюся, в сущности, приведенным моментом инерции системы ротор генератора-ротор турбины, который измеряется в | + | являющуюся, в сущности, приведенным моментом инерции системы ротор генератора-ротор турбины, который измеряется в <math>[kg\cdot m^2]</math>. |
В итоге, при подстановке (\ref{J}) в уравнение (\ref{Motion_Eq_SI_Torque0}), получим | В итоге, при подстановке (\ref{J}) в уравнение (\ref{Motion_Eq_SI_Torque0}), получим | ||
Строка 116: | Строка 122: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | В качестве входных параметров модели генераторного агрегата часто используют не моменты сил, прикладываемых к валу ротора, а мощности, затрачиваемые на действие этих моментов. Как известно, | + | В качестве входных параметров модели генераторного агрегата часто используют не моменты сил, прикладываемых к валу ротора, а мощности, затрачиваемые на действие этих моментов. Как известно, <math>\displaystyle P(t)=T(t)\cdot \omega(t)</math>, или <math>\displaystyle T(t)=\frac{P(t)}{\omega(t)}</math>. Тогда перепишем уравнение (\ref{Motion_Eq_SI_Torque}), как |
\begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_Power} | \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_Power} | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
Строка 131: | Строка 137: | ||
Параметрами состояния в модели электромеханической системы генераторного агрегата, будем считать: | Параметрами состояния в модели электромеханической системы генераторного агрегата, будем считать: | ||
− | * | + | * <math>\displaystyle \delta(t) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> - приведенный угол поворота ротора генератора относительно условно-нулевого положения, измеряемый в <math>[rad]</math>, |
− | * | + | * <math>\displaystyle \omega(t)\equiv d \delta(t)/d t</math> - приведенная угловая частота ротора генератора, измеряемая в <math>[rad/s]</math>. |
Параметрами модели электромеханической системы генераторного агрегата будем считать: | Параметрами модели электромеханической системы генераторного агрегата будем считать: | ||
− | * | + | * <math>\displaystyle J \in \mathbb{R}_+^*</math> - приведенный момент инерции ротора генератора, измеряемый в <math>[kg\cdot m^2]</math>. |
Внешними параметрами модели электромеханической системы генераторного агрегата будем считать: | Внешними параметрами модели электромеханической системы генераторного агрегата будем считать: | ||
− | * | + | * <math>\displaystyle P_T(t): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> - мощность, затрачиваемая на действие момента, действующего со стороны ротора турбины на ротор генератора, измеряемая в <math>[W]</math>, |
− | * | + | * <math>\displaystyle P_E(t): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> - мощность, затрачиваемая на действие момента, действующего со стороны электромагнитного поля генератора на ротор генератора, измеряемая в <math>[W]</math>. |
В системе единиц СИ общая система уравнений, описывающих движение элементов агрегата приведено в (\ref{Motion_Eq_SI_Power}). | В системе единиц СИ общая система уравнений, описывающих движение элементов агрегата приведено в (\ref{Motion_Eq_SI_Power}). | ||
− | + | =Уравнение движения в относительных единицах= | |
− | Система относительных единиц - система единиц, использующаяся в электроэнергетических | + | Система относительных единиц - система единиц, использующаяся в электроэнергетических расчётах, при которой значения величин параметров рассчитываются относительно некоторых базовых величин. Вводится она, чаще всего, для удобства расчёта электромеханических переходных процессов в сложных многомашинных системах. Строго, система базовых величин (как и система относительных единиц) определена для величин напряжения, мощности, тока, сопротивления и проводимости. В данном разделе, только мощность является относительной величиной в строгом смысле этого понятия. Однако, исходя из контекста, относительные величины можно определить, также, для величин угла ротора генератора и угловой частоты ротора генератора. |
− | + | ==Ввод относительной единицы угла ротора== | |
− | Часто, при | + | Часто, при расчётах электромеханических переходных процессов, оказывается важным контролировать не приведенный угол поворота ротора <math>\delta(t)</math>, а приведенный угол поворота ротора относительно некоторой синхронно вращающейся c угловой частотой <math>\omega_{nom}</math> системы координат. |
Соответственно, введем, относительную единицу угла ротора | Соответственно, введем, относительную единицу угла ротора | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
Строка 184: | Строка 190: | ||
\Delta \omega _{pu}(t) \equiv \frac{\omega(t) - \omega_{nom}}{\omega_{nom}}. | \Delta \omega _{pu}(t) \equiv \frac{\omega(t) - \omega_{nom}}{\omega_{nom}}. | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Следует заметить, что при таком вводе относительной единицы угловой частоты при | + | Следует заметить, что при таком вводе относительной единицы угловой частоты при <math>\Delta \omega _{pu}(t)=0</math>, приведенная угловая частота вращения синхронного генератора <math>\omega(t)=\omega_{nom}</math>. |
Отметим, что | Отметим, что | ||
Строка 204: | Строка 210: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Для удобства, умножим левую и правую части первого уравнения системы уравнений (\ref{Motion_Eq_SI_PUWd0}) на | + | Для удобства, умножим левую и правую части первого уравнения системы уравнений (\ref{Motion_Eq_SI_PUWd0}) на <math>\omega_{nom}</math>. Тогда, систему уравнений (\ref{Motion_Eq_SI_PUWd0}) можно переписать в виде |
\begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_PUWdw} | \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_PUWdw} | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
Строка 217: | Строка 223: | ||
H_j\equiv J \cdot \omega_{nom}^2. | H_j\equiv J \cdot \omega_{nom}^2. | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Этот параметр иногда дается в зарубежных учебниках и его можно использовать при вычислениях, при условии правильного пересчета коэффициентов в системе уравнений. Очевидно, что единицей измерения | + | Этот параметр иногда дается в зарубежных учебниках и его можно использовать при вычислениях, при условии правильного пересчета коэффициентов в системе уравнений. Очевидно, что единицей измерения <math>H_j</math> в системе СИ является <math>[kg \cdot m^2\cdot s^2]</math>. |
Перепишем систему уравнений (\ref{Motion_Eq_SI_PUWdw}) с учетом (\ref{Hj}) | Перепишем систему уравнений (\ref{Motion_Eq_SI_PUWdw}) с учетом (\ref{Hj}) | ||
Строка 228: | Строка 234: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | + | ==Ввод относительной единицы мощности== | |
Относительные единицы мощности вводятся для удобства описания системы уравнений движения. | Относительные единицы мощности вводятся для удобства описания системы уравнений движения. | ||
− | Всего будет рассмотрено два подхода к обозначению относительных единиц мощности: | + | Всего будет рассмотрено два подхода к обозначению относительных единиц мощности: <math>P_{puP}=P/P_{T nom}</math> и <math>P_{puS}=P/S_{nom}</math>, где <math>P_{T nom} \in \mathbb{R}_+^*</math> - номинальная активная электричекая мощность генератора, а <math>S_{nom} \in \mathbb{R}_+^*</math> - модуль номинальной полной мощности генератора.\footnote{Стоит заметить, что <math>pu</math> (англ. per unit - относительная единица) в индексе мощности показывают факт того, что величина является относительной, а <math>P</math> и <math>S</math> - базовую величину, к кторой приведена относительная единица измерения.} В сущности, не важно, что брать базовой величиной для определения относительных величин, главное - чтобы сохранилось единообразие системы уравнений и не было противоречий в записи. |
− | \subsubsection{Относительная единица мощности | + | \subsubsection{Относительная единица мощности <math>P_{puP}=P/P_{T nom}</math>} |
Для первого подхода, соответственно, вводятся внешние переменные модели | Для первого подхода, соответственно, вводятся внешние переменные модели | ||
Строка 250: | Строка 256: | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | или, если разделить левую и правую части первого уравнения (\ref{Motion_Eq_puT}) на | + | или, если разделить левую и правую части первого уравнения (\ref{Motion_Eq_puT}) на <math>P_{T nom}</math>, |
\begin{equation}\label{Motion_Eq_puT1} | \begin{equation}\label{Motion_Eq_puT1} | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
Строка 258: | Строка 264: | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Теперь, для системы уравнений (\ref{Motion_Eq_puT1}) можно записать инерционную постоянную, которую в литературе принято обозначать, как | + | Теперь, для системы уравнений (\ref{Motion_Eq_puT1}) можно записать инерционную постоянную, которую в литературе принято обозначать, как <math>\tau_j \in \mathbb{R}_+^*</math> и называть постоянной времени. Для однозначности толкования относительно подхода, при котором она будет вычислена, дадим ей соответствующий индекс и дадим определение: |
\begin{equation}\label{tau_jP} | \begin{equation}\label{tau_jP} | ||
\tau_{jP} \equiv \frac{H_j}{P_{T nom}} \equiv J \cdot \frac{ \omega_{nom}^2}{P_{T nom}}. | \tau_{jP} \equiv \frac{H_j}{P_{T nom}} \equiv J \cdot \frac{ \omega_{nom}^2}{P_{T nom}}. | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | С учетом, что | + | С учетом, что <math>[W]=[V\cdot A]=[kg\cdot m^2/s^3]</math>, единицей измерения <math>\tau_{jP}</math> в системе СИ является <math>[1/s]</math>. |
Перепишем систему уравнений (\ref{Motion_Eq_puT1}) с учетом параметра (\ref{tau_jP}): | Перепишем систему уравнений (\ref{Motion_Eq_puT1}) с учетом параметра (\ref{tau_jP}): | ||
Строка 273: | Строка 279: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | ===Относительная единица мощности | + | ==Относительная единица мощности== |
+ | Относительная единица мощности - <math>P_{puS}=P/S_{nom}</math>. | ||
− | Для второго подхода, изложенные выше рассуждения, повторяются с тем лишь изменением, что на месте | + | Для второго подхода, изложенные выше рассуждения, повторяются с тем лишь изменением, что на месте <math>P_{T nom}</math> будет стоять <math>S_{nom}</math>. Постоянная времени в этом подходе будет имет обозначение <math>\tau_{jS}</math>. Единицей измерения <math>\tau_{jS}</math> в системе СИ является <math>[1/s]</math>, как и <math>\tau_{jP}</math>. Приведем промежуточные системы уравнений вывода и обозначим переменные, опустив очевидные текстовые пояснения: |
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
Строка 307: | Строка 314: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | + | =Комментарии к получившимся системам уравнений= | |
Из записанного вывода можно выделить четыре эквивалентных формы записи системы дифференциальных уравнений движения: | Из записанного вывода можно выделить четыре эквивалентных формы записи системы дифференциальных уравнений движения: | ||
Строка 317: | Строка 324: | ||
− | Как видно из рассуждений, все эти формы записи являются эквивалентными и отличаются друг от друга только составом переменных. Однако, стоит отметить, что при размышлениях об инерционности (массивности) синхронных машин удобнее всего использовать приведенный момент инерции агрегата | + | Как видно из рассуждений, все эти формы записи являются эквивалентными и отличаются друг от друга только составом переменных. Однако, стоит отметить, что при размышлениях об инерционности (массивности) синхронных машин удобнее всего использовать приведенный момент инерции агрегата <math>J</math> из системы уравнений (\ref{Motion_Eq_SI_Power}) и описанный в (\ref{J}). |
Из него, в частности, следует, что генератор тем инертнее и, как следствие, тем устойчивее, чем | Из него, в частности, следует, что генератор тем инертнее и, как следствие, тем устойчивее, чем | ||
− | * больше момент инерции ротора самого генератора | + | * больше момент инерции ротора самого генератора <math>J_G</math>, |
− | * больше момент инерции ротора турбины | + | * больше момент инерции ротора турбины <math>J_T</math>, |
− | * выше передаточный коэффициент редуктора между ротором генератора и турбины (при его наличии) | + | * выше передаточный коэффициент редуктора между ротором генератора и турбины (при его наличии) <math>n_{rd}</math>, |
− | * меньше число его пар полюсов | + | * меньше число его пар полюсов <math>n_{sm}</math>. |
− | Инерционность генератора, не зависит ни от квадрата номинальной угловой частоты сети | + | Инерционность генератора, не зависит ни от квадрата номинальной угловой частоты сети <math>\omega_{nom}^2</math>, ни от номинальной мощности турбины <math>P_{T nom}</math>, ни от модуля номинальной полной мощности <math>S_{nom}</math>, как может показаться по определениям <math>H_j</math>, <math>\tau_{jP}</math> и <math>\tau_{jS}</math> из выражений (\ref{Hj}), (\ref{tau_jP}) и (\ref{tau_jS}), соответственно. Безусловно, эти величины могут опосредованно повлиять на величины, указанные в списке, однако, непосредственной зависимоти между инертностью генераторов и этими величинами не существует. |
− | + | =Перевод единиц измерения параметров моделей= | |
Часто, во многих справочниках и документах на синхронные машины и турбины, параметры моделей приводятся не в тех величинах, как представлено в данной главе. В данном разделе приведен способ перевода параметров справочников из величин справочников в величины, указанные в разделах данной главы, для возможности их вычисления и использования при моделировании электромеханических переходных процессов. В данном разделе, где могут возникнуть разночтения, величины имеют снизу подпись о том, в каких величинах они измеряются. Переводы даны в обе стороны. | Часто, во многих справочниках и документах на синхронные машины и турбины, параметры моделей приводятся не в тех величинах, как представлено в данной главе. В данном разделе приведен способ перевода параметров справочников из величин справочников в величины, указанные в разделах данной главы, для возможности их вычисления и использования при моделировании электромеханических переходных процессов. В данном разделе, где могут возникнуть разночтения, величины имеют снизу подпись о том, в каких величинах они измеряются. Переводы даны в обе стороны. | ||
− | В зарубежных, да и в российских документах на синхронные двигатели часто для генераторов и турбин приведены значения величин моментов инерции | + | В зарубежных, да и в российских документах на синхронные двигатели часто для генераторов и турбин приведены значения величин моментов инерции <math>J</math> в единице измерения <math>[kg\cdot m^2]</math>. Такие величны можно использовать непосредственно, как указано в данной главе. Однако, во многих справочниках приведен маховый момент (в некоторой литературе, называемый, также, гравиметрический момент инерции) синхронного генератора и турбины <math>GD^2</math>. |
− | Маховый момент | + | Маховый момент <math>GD^2</math> имеет такую же единицу измерения <math>[kg \cdot m^2]</math>, как и момент инерции <math>J</math>. Чтобы перевести маховый момент <math>GD^2</math> в момент инерции <math>J</math> и наоборот, используются формулы |
\begin{equation}\label{J_GD2} | \begin{equation}\label{J_GD2} | ||
J_{[kg \cdot m^2]} = GD^2_{[kg \cdot m^2]}/ 4, | J_{[kg \cdot m^2]} = GD^2_{[kg \cdot m^2]}/ 4, | ||
Строка 341: | Строка 348: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | В справочниках и в документах на синхронные генераторы, вместо величины номинальной угловой частоты вращения | + | В справочниках и в документах на синхронные генераторы, вместо величины номинальной угловой частоты вращения <math>\omega_{[rad/s]}</math>, дается частота вращения <math>n_{[rpm]}</math>. Чтобы перевести <math>n_{[rpm]}</math> в <math>\omega_{[rad/s]}</math> и обратно, используются выражения |
\begin{equation}\label{omega_n} | \begin{equation}\label{omega_n} | ||
\omega_{[rad/s]} = n_{[rpm]} \cdot\frac{2\cdot \pi}{60}, | \omega_{[rad/s]} = n_{[rpm]} \cdot\frac{2\cdot \pi}{60}, | ||
Строка 349: | Строка 356: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Также бывает, что, вместо безразмерного числа пар полюсов машины | + | Также бывает, что, вместо безразмерного числа пар полюсов машины <math>n_{sm}</math>, в справочнике дана частота вращения генератора <math>n_{G,[rpm]}</math>. Тогда можно использовать формулы |
\begin{equation}\label{nsm_ng} | \begin{equation}\label{nsm_ng} | ||
n_{sm} = \frac{60\cdot f_{nom}}{n_{G,[rpm]}}=\frac{60\cdot 50[Hz]}{n_{G,[rpm]}}, | n_{sm} = \frac{60\cdot f_{nom}}{n_{G,[rpm]}}=\frac{60\cdot 50[Hz]}{n_{G,[rpm]}}, | ||
Строка 357: | Строка 364: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Преобразования величин | + | Преобразования величин <math>[MW]\leftrightarrow [W]</math>, <math>[MV\cdot A]\leftrightarrow [V\cdot A]</math>, <math>[t]\leftrightarrow [kg]</math>, <math>[rad/s]\leftrightarrow [Hz]\leftrightarrow [rpm]</math> не приводятся, ввиду их тривиальности. |
− | + | =Пример выполнения преобразований= | |
Проиллюстрируем преобразования на примере, когда известны: | Проиллюстрируем преобразования на примере, когда известны: | ||
− | + | ||
− | + | * <math>GD^2_{T,[t\cdot m^2]}</math> - маховый момент ротора турбины, | |
− | + | * <math>GD^2_{G[t\cdot m^2]}</math> - маховый момент ротора генератора, | |
− | + | * <math>S_{nom,[MV\cdot A]}</math> - номинальная активная мощность генератора, | |
− | + | * <math>n_{nomG,[rpm]}=3000[rpm]</math> - номинальное количество оборотов в минуту генератора. | |
− | + | ||
− | Будем считать, что ротор турбины и ротор генератора находятся на одном валу (редуктора нет, | + | Будем считать, что ротор турбины и ротор генератора находятся на одном валу (редуктора нет, <math>n_{rd}=1</math>). Найдем для этого случая <math>\tau_{jS,[1/s]}</math>. |
Как известно из (\ref{tau_jS}), | Как известно из (\ref{tau_jS}), | ||
Строка 375: | Строка 382: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | + | <math>J_{[kg\cdot m^2]}</math> в выражении (\ref{taujEx}) можно вычислить, используя выражение (\ref{J}): | |
\begin{equation}\label{J_valsEx1} | \begin{equation}\label{J_valsEx1} | ||
J_{[kg\cdot m^2]}=\frac{1}{n_{sm}}\cdot \left(J_{G,[kg\cdot m^2]} + n_{rd}\cdot J_{T,[kg\cdot m^2]} \right)=\frac{1}{n_{sm}}\cdot \left(J_{G,[kg\cdot m^2]} + J_{T,[kg\cdot m^2]}\right). | J_{[kg\cdot m^2]}=\frac{1}{n_{sm}}\cdot \left(J_{G,[kg\cdot m^2]} + n_{rd}\cdot J_{T,[kg\cdot m^2]} \right)=\frac{1}{n_{sm}}\cdot \left(J_{G,[kg\cdot m^2]} + J_{T,[kg\cdot m^2]}\right). | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Вычислим число пар полюсов | + | Вычислим число пар полюсов <math>n_{sm}</math> для данного генератора через известное <math>n_{nomG,[rpm]}</math>, используя выражение (\ref{nsm_ng}): |
\begin{equation}\label{nsm_ngEx} | \begin{equation}\label{nsm_ngEx} | ||
n_{sm}=\frac{60\cdot 50[Hz]}{n_{G,[rpm]}}=\frac{60\cdot 50[Hz]}{3000[rpm]}=1. | n_{sm}=\frac{60\cdot 50[Hz]}{n_{G,[rpm]}}=\frac{60\cdot 50[Hz]}{3000[rpm]}=1. | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Можно заметить, что генератор является турбогенератором (число пар полюсов | + | Можно заметить, что генератор является турбогенератором (число пар полюсов <math>n_{sm}=1</math>). Подставим вычисленный <math>n_{sm}</math> в выражение (\ref{nsm_ngEx}) |
\begin{equation}\label{J_valsEx1} | \begin{equation}\label{J_valsEx1} | ||
J_{[kg\cdot m^2]}=\frac{1}{n_{sm}}\cdot \left(J_{G,[kg\cdot m^2]} + J_{T,[kg\cdot m^2]}\right)=J_{G,[kg\cdot m^2]} + J_{T,[kg\cdot m^2]}. | J_{[kg\cdot m^2]}=\frac{1}{n_{sm}}\cdot \left(J_{G,[kg\cdot m^2]} + J_{T,[kg\cdot m^2]}\right)=J_{G,[kg\cdot m^2]} + J_{T,[kg\cdot m^2]}. | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Выражения переводов (\ref{J_GD2}) позволяют вычислить | + | Выражения переводов (\ref{J_GD2}) позволяют вычислить <math>J_{G,[kg\cdot m^2]}</math> и <math>J_{T,[kg\cdot m^2]}</math> в выражении (\ref{J_valsEx1}) |
\begin{equation}\label{JGT_vals} | \begin{equation}\label{JGT_vals} | ||
\begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
Строка 396: | Строка 403: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Вычислим итоговый | + | Вычислим итоговый <math>J_{[kg\cdot m^2]}</math>, подставив в выражение (\ref{J_valsEx1}) <math>J_{G,[kg \cdot m^2]}</math> и <math>J_{T,[kg \cdot m^2]}</math> из выражения (\ref{JGT_vals}) |
\begin{equation}\label{J_valsEx2} | \begin{equation}\label{J_valsEx2} | ||
\begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
Строка 407: | Строка 414: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Вычислим итоговый | + | Вычислим итоговый <math>\tau_{jS,[1/s]}</math>, подставив в выражение (\ref{taujEx}) <math>J_{[kg\cdot m^2]}</math>, приведенный в выражении (\ref{J_valsEx2}), а также данное в начале примера <math>S_{nom,[MV\cdot A]}</math>, учитывая, что <math>S_{nom,[V\cdot A]}</math> в выражении (\ref{taujEx}) измеряется в <math>[V\cdot A]</math> |
\begin{equation}\label{tauj_ExRes1} | \begin{equation}\label{tauj_ExRes1} | ||
\begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
Строка 424: | Строка 431: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Заметим, что при выводе (\ref{tauj_ExRes1}), учитывая, что | + | Заметим, что при выводе (\ref{tauj_ExRes1}), учитывая, что <math>n_{nom,[rpm]}\equiv f_{nom,[Hz]}\cdot 60</math>, можно было вычислить известную по учебникам формулу |
\begin{equation}\label{tauj_ExRes2} | \begin{equation}\label{tauj_ExRes2} | ||
\begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
&\tau_{jS,[1/s]}=\frac{10^3}{4} \cdot \left(GD^2_{G,[t \cdot m^2]} + GD^2_{T,[t \cdot m^2]}\right)\cdot \frac{\omega_{nom,[rad/s]}^2}{S_{nom,[V\cdot A]}}= | &\tau_{jS,[1/s]}=\frac{10^3}{4} \cdot \left(GD^2_{G,[t \cdot m^2]} + GD^2_{T,[t \cdot m^2]}\right)\cdot \frac{\omega_{nom,[rad/s]}^2}{S_{nom,[V\cdot A]}}= | ||
\\ | \\ | ||
− | &=\frac{1}{4} \cdot \left( | + | &=\frac{1}{4} \cdot \left(GD²_{G,[t \cdot m²]} + GD²_{T,[t \cdot m²]}\right)\cdot \frac{(2\cdot \pi \cdot n_{nom, [rpm]}/60)²}{S_{nom, [MV\cdot A]}\cdot 10³}= |
\\ | \\ | ||
− | &=\left( | + | &=\left(GD²_{G,[t \cdot m²]} + GD²_{T,[t \cdot m²]}\right)\cdot \frac{(\pi \cdot n_{nom, [rpm]}/60)²}{S_{nom, [MV\cdot A]}\cdot 10³}= |
\\ | \\ | ||
− | &=\frac{\ | + | &=\frac{\pi²}{3600\cdot 10³} \cdot \frac{\left(GD²_{G,[t \cdot m²]} + GD²_{T,[t \cdot m²]}\right)\cdot n_{nom, [rpm]}²}{S_{nom, [MV\cdot A]}\cdot [s²]}= |
\\ | \\ | ||
− | &=2.741557\cdot 10^{-6} \cdot \frac{\left( | + | &=2.741557\cdot 10^{-6} \cdot \frac{\left(GD²_{G,[t \cdot m²]} + GD²_{T,[t \cdot m²]}\right)\cdot n_{nom, [rpm]}²}{S_{nom, [MV\cdot A]}\cdot [s²]}. |
\end{aligned} | \end{aligned} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | + | = Литература = | |
+ | # Веников В. А. В29. Переходные электромеханические процессы в элек трических системах: Учеб. для электроэиергст. спец. ву зов.— 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1985.—. 536 с. | ||
+ | |||
+ | [[Категория:Электромеханические переходные процессы]] |
Текущая версия на 16:13, 19 мая 2019
Расчёт уравнений движения генератора в ходе электромеханического переходного процесса в относительных единицах.
Содержание
Общие положения
Все величины в настоящей статье, за исключением разделов, где явно указано обратное, измеряются в единицах измерения СИ. Переменная [math] t\in \mathbb{R} [/math] - время, единицей измерения которого является, [math][s][/math]. Величины, меняющиеся во времени, представлены функциями, областью определения которых является время. При определении указываются единицы измерения области значений функций от времени. Область их определения всегда имеет единицу измерения [math][s][/math].
Уравнение движения в абсолютных единицах
Генераторный агрегат - механическая система, состоящая из статора генератора, подключенного к электрической сети, вращающихся ротора генератора и ротора турбины. Ротор генератора имеет механическую связь с ротором турбины. К ротору генератора приложены моменты электромагнитных сил от статора генератора и момент от ротора турбины.
Описание механической модели генераторного агрегата
В общем случае, ротор турбины может быть механически связан с ротором генератора через редуктор, или через вал. Обозначим за [math]n_{rd} \in \mathbb{R}_+^*[/math] передаточное отношение редуктора. Очевидно, что [math]n_{rd}[/math] остается постоянным в любой момент времени. Если ротор турбины связан с ротором генератора через вал, тогда [math]n_{rd}=1[/math]. Стоит отметить, что механическая связь ротора генератора и ротора турбины посредством редуктора - явление крайне редкое, ввиду низкой надежности подобной связи и снижения общего КПД установки ввиду механических потерь в редукторе, однако, для общего случая, рассмотрим и ее.
Параметрами состояния в модели электромеханической системы генераторного агрегата, в общем случае, будем считать:
- [math]\displaystyle \delta_G(t) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/math] - угол поворота ротора генератора относительно условно-нулевого положения, измеряемый в [math][rad][/math],
- [math]\displaystyle \delta_T(t) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/math] - угол поворота ротора турбины относительно условно-нулевого положения, измеряемый в [math][rad][/math],
- [math]\displaystyle \omega_{G}(t)\equiv d \delta_G(t)/d t[/math] - угловая частота ротора генератора, измеряемая в [math][rad/s][/math],
- [math]\displaystyle \omega_{T}(t)\equiv d \delta_T(t)/d t[/math] - угловая частота ротора турбины, измеряемая в [math][rad/s][/math].
Зададим условно-нулевое положение ротора турбины и ротора генератора таким образом, что [math]\displaystyle \delta_G(0)=\delta_T(0)=0[/math].
Параметрами модели электромеханической системы генераторного агрегата будем считать:
- [math]\displaystyle J_G \in \mathbb{R}_+^*[/math] - момент инерции ротора генератора, измеряемый в [math][kg\cdot m^2][/math],
- [math]\displaystyle J_T \in \mathbb{R}_+^*[/math] - момент инерции ротора турбины, измеряемый в [math][kg\cdot m^2][/math].
- [math]\displaystyle n_{rd} \equiv \omega_{T}(t)/\omega_{G}(t)\in \mathbb{R}_+^*[/math] - передаточное отношение редуктора, величина безразмерная.
Внешними параметрами модели электромеханической системы генераторного агрегата будем считать:
- [math]T_T(t): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/math] - момент, действующий со стороны ротора турбины на ротор генератора, измеряемый в [math][N\cdot m][/math],
- [math]T_E(t): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/math] - момент, действующий со стороны электромагнитного поля генератора на ротор генератора, измеряемый в [math][N\cdot m][/math].
В системе единиц СИ общая система уравнений, описывающих движение элементов агрегата, выглядит следующим образом:
\begin{equation}\displaystyle \label{Motion_Eq_SI_Torque_Full1}
\begin{cases}
J_G \cdot \frac{d \omega_G(t)}{dt} + J_T \cdot \frac{d \omega_T(t)}{dt} = T_T(t) - T_E(t),
\\
\frac{d \delta_G(t)}{dt} = \omega_G(t),
\\
\frac{d \delta_T(t)}{dt} = \omega_T(t),
\\
n_{rd} = \omega_{T}(t)/\omega_{G}(t).
\end{cases}
\end{equation}
Преобразование модели генераторного агрегата
Из четвертого уравнения (\ref{Motion_Eq_SI_Torque_Full1}) следует, что
[math]\displaystyle \omega_{T}(t)=n_{rd}\cdot \omega_{G}(t)[/math].
Подставим это выражение в первое и третье уравнения системы. Перепишем систему (\ref{Motion_Eq_SI_Torque_Full1}) \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_Torque_Full2} \begin{cases} J_G \cdot \frac{d \omega_{G}(t)}{dt} + J_T \cdot \frac{d ( n_{rd}\cdot \omega_{G}(t))}{dt} = T_T(t) - T_E(t), \\ \frac{d \delta_G(t)}{dt} = \omega_G(t), \\ \frac{d \delta_T(t)}{dt} = n_{rd}\cdot \omega_{G}(t). \end{cases} \end{equation}
Заметим, что из второго и третьего уравнений системы (\ref{Motion_Eq_SI_Torque_Full2}) следует, что [math]\displaystyle \delta_T(t) = \delta_G(t)/n_{rd}[/math]. Из этого следует, что [math]\displaystyle \delta_T(t)[/math] можно сделать зависимой переменной и изъять из рассмторения, ввиду того, что её значение можно легко вычислить для любого момента времени из [math]\displaystyle \delta_G(t)[/math]. Полученная система уравнений выглядит следующим образом: \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_Torque_Full3} \begin{cases} \left(J_G + n_{rd}\cdot J_T \right) \cdot \frac{d \omega_{G}(t)}{dt} = T_T(t) - T_E(t), \\ \frac{d \delta_G(t)}{dt} = \omega_G(t). \end{cases} \end{equation}
Для практических расчётов, когда в рассмотрение берутся несколько генераторов, связанных электрической сетью с частотой [math]\displaystyle f_{nom}=50[Hz][/math] и угловой частотой [math]\displaystyle \omega_{nom}=2\cdot \pi \cdot f_{nom}[/math], удобным оказывается учесть, что, в общем случае, ротор генератора может нормально вращаться с номинальной угловой частотой [math]\displaystyle \omega_{G.nom} \in \mathbb{R}_+^*[/math], отличной от номинальной угловой частоты электрической сети [math]\displaystyle \omega_{nom}[/math]. Такое происходит, когда на генераторе число пар полюсов [math]\displaystyle n_{sm}\equiv \omega_{nom}/\omega_{G.nom}[/math] отличается от [math]\displaystyle 1[/math]. Число пар полюсов [math]\displaystyle n_{sm}\in \mathbb{N}[/math] является безразмерной величиной. Обычно на турбогенераторах число пар полюсов [math]\displaystyle n_{sm}=1[/math], на гидрогенераторах обычно [math]\displaystyle n_{sm}\gt 1[/math].
Введем переменные состояния такие, что \begin{equation}\label{deltaomega} \begin{aligned} \delta(t) &\equiv \delta_G(t)\cdot n_{sm}, \\ \omega(t) &\equiv \omega_{G}(t)\cdot n_{sm}. \end{aligned} \end{equation} Отметим, что \begin{equation}\label{deltaomega_prop} \begin{aligned} \delta_G(t)&=\delta(t)/n_{sm}, \\ d(\delta_G(t))&=d(\delta(t))/n_{sm}, \\ \omega_{G}(t) &= \omega(t)/n_{sm}, \\ d(\omega_{G}(t)) &= d(\omega(t))/n_{sm}. \end{aligned} \end{equation}
Перепишем систему уравнений (\ref{Motion_Eq_SI_Torque_Full3}) через переменные (\ref{deltaomega}) \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_Torque0} \begin{cases} \frac{1}{n_{sm}}\cdot \left(J_G + n_{rd}\cdot J_T \right) \cdot \frac{d \omega(t)}{dt} = T_T(t) - T_E(t), \\ \frac{d \delta(t)}{dt} = \omega(t). \end{cases} \end{equation}
Чтобы не загромождать запись, введем переменную модели \begin{equation}\label{J} J=\frac{1}{n_{sm}}\cdot \left(J_G + n_{rd}\cdot J_T \right), \end{equation} являющуюся, в сущности, приведенным моментом инерции системы ротор генератора-ротор турбины, который измеряется в [math][kg\cdot m^2][/math].
В итоге, при подстановке (\ref{J}) в уравнение (\ref{Motion_Eq_SI_Torque0}), получим \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_Torque} \begin{cases} J \cdot \frac{d \omega(t)}{dt} = T_T(t) - T_E(t), \\ \frac{d \delta(t)}{dt} = \omega(t). \end{cases} \end{equation}
В качестве входных параметров модели генераторного агрегата часто используют не моменты сил, прикладываемых к валу ротора, а мощности, затрачиваемые на действие этих моментов. Как известно, [math]\displaystyle P(t)=T(t)\cdot \omega(t)[/math], или [math]\displaystyle T(t)=\frac{P(t)}{\omega(t)}[/math]. Тогда перепишем уравнение (\ref{Motion_Eq_SI_Torque}), как \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_Power} \begin{cases} J \cdot \frac{d \omega(t)}{dt}= \frac{1}{\omega(t)}\cdot (P_T(t) - P_E(t)), \\ \frac{d \delta(t)}{dt} = \omega(t). \end{cases} \end{equation}
\subsection{Описание преобразованной модели генераторного агрегата}
Очевидно, что после преобразований раздела \ref{subsection2}, первоначальная модель, приведенная в начале раздела \ref{subsection1}, претерпела изменения. Итоговое описание модели приведено ниже.
Параметрами состояния в модели электромеханической системы генераторного агрегата, будем считать:
- [math]\displaystyle \delta(t) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/math] - приведенный угол поворота ротора генератора относительно условно-нулевого положения, измеряемый в [math][rad][/math],
- [math]\displaystyle \omega(t)\equiv d \delta(t)/d t[/math] - приведенная угловая частота ротора генератора, измеряемая в [math][rad/s][/math].
Параметрами модели электромеханической системы генераторного агрегата будем считать:
- [math]\displaystyle J \in \mathbb{R}_+^*[/math] - приведенный момент инерции ротора генератора, измеряемый в [math][kg\cdot m^2][/math].
Внешними параметрами модели электромеханической системы генераторного агрегата будем считать:
- [math]\displaystyle P_T(t): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/math] - мощность, затрачиваемая на действие момента, действующего со стороны ротора турбины на ротор генератора, измеряемая в [math][W][/math],
- [math]\displaystyle P_E(t): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/math] - мощность, затрачиваемая на действие момента, действующего со стороны электромагнитного поля генератора на ротор генератора, измеряемая в [math][W][/math].
В системе единиц СИ общая система уравнений, описывающих движение элементов агрегата приведено в (\ref{Motion_Eq_SI_Power}).
Уравнение движения в относительных единицах
Система относительных единиц - система единиц, использующаяся в электроэнергетических расчётах, при которой значения величин параметров рассчитываются относительно некоторых базовых величин. Вводится она, чаще всего, для удобства расчёта электромеханических переходных процессов в сложных многомашинных системах. Строго, система базовых величин (как и система относительных единиц) определена для величин напряжения, мощности, тока, сопротивления и проводимости. В данном разделе, только мощность является относительной величиной в строгом смысле этого понятия. Однако, исходя из контекста, относительные величины можно определить, также, для величин угла ротора генератора и угловой частоты ротора генератора.
Ввод относительной единицы угла ротора
Часто, при расчётах электромеханических переходных процессов, оказывается важным контролировать не приведенный угол поворота ротора [math]\delta(t)[/math], а приведенный угол поворота ротора относительно некоторой синхронно вращающейся c угловой частотой [math]\omega_{nom}[/math] системы координат. Соответственно, введем, относительную единицу угла ротора \begin{equation} \Delta \delta(t)=\delta(t)-\omega_{nom} \cdot t. \end{equation}
Отметим, что \begin{equation}\label{ddelta} \begin{aligned} \delta(t) &=\Delta \delta(t)+\omega_{nom} \cdot t, \\ d(\delta(t)) &=d\Delta \delta(t)+\omega_{nom} \cdot d t. \end{aligned} \end{equation}
С учетом (\ref{ddelta}), перепишем уравненение (\ref{Motion_Eq_SI_Power}) в виде \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_d} \begin{cases} J \cdot \frac{d \omega(t)}{dt}= \frac{1}{\omega(t)}\cdot (P_T(t) - P_E(t)), \\ \frac{d\Delta \delta(t)}{dt} = \omega(t)-\omega_{nom}. \end{cases} \end{equation}
\subsection{Ввод относительной единицы угловой частоты}
Относительной единицей угловой частоты будем считать безразмерную величину, называемую скольжением и определенную, как \begin{equation} \Delta \omega _{pu}(t) \equiv \frac{\omega(t) - \omega_{nom}}{\omega_{nom}}. \end{equation} Следует заметить, что при таком вводе относительной единицы угловой частоты при [math]\Delta \omega _{pu}(t)=0[/math], приведенная угловая частота вращения синхронного генератора [math]\omega(t)=\omega_{nom}[/math].
Отметим, что \begin{equation}\label{domega} \begin{aligned} \omega(t)&=\omega_{nom} \cdot (1 + \Delta \omega _{pu}(t))=\omega_{nom} \cdot \Delta \omega _{pu}(t) + \omega_{nom}, \\ d(\omega(t)) &= d(\omega_{nom} \cdot (1 + \Delta \omega _{pu})) = \omega_{nom} \cdot d\Delta \omega _{pu}. \end{aligned} \end{equation}
С учетом (\ref{domega}), перепишем уравненение (\ref{Motion_Eq_SI_d}) в виде \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_PUWd0} \begin{cases} J \cdot \omega_{nom} \cdot \frac{d \Delta \omega_{pu}(t)}{dt}= \frac{1}{\omega_{nom} \cdot (1 + \Delta \omega _{pu}(t))} \cdot (P_{T}(t) - P_{E}(t)), \\ \frac{d \Delta \delta(t)}{dt} = \omega_{nom} \cdot \Delta \omega_{pu}(t). \end{cases} \end{equation}
Для удобства, умножим левую и правую части первого уравнения системы уравнений (\ref{Motion_Eq_SI_PUWd0}) на [math]\omega_{nom}[/math]. Тогда, систему уравнений (\ref{Motion_Eq_SI_PUWd0}) можно переписать в виде \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_PUWdw} \begin{cases} J \cdot \omega_{nom}^2 \cdot \frac{d \Delta \omega_{pu}(t)}{dt}= \frac{1}{1 + \Delta \omega _{pu}(t)} \cdot (P_{T}(t) - P_{E}(t)), \\ \frac{d \Delta \delta(t)}{dt} = \omega_{nom} \cdot \Delta \omega _{pu}(t). \end{cases} \end{equation}
На данном этапе существует возможность свернуть множитель, который не зависит от переменных состояния для сокращения записи, который будет выражен, как \begin{equation}\label{Hj} H_j\equiv J \cdot \omega_{nom}^2. \end{equation} Этот параметр иногда дается в зарубежных учебниках и его можно использовать при вычислениях, при условии правильного пересчета коэффициентов в системе уравнений. Очевидно, что единицей измерения [math]H_j[/math] в системе СИ является [math][kg \cdot m^2\cdot s^2][/math].
Перепишем систему уравнений (\ref{Motion_Eq_SI_PUWdw}) с учетом (\ref{Hj}) \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_Hj} \begin{cases} H_j \cdot \frac{d \Delta \omega_{pu}(t)}{dt}= \frac{1}{1 + \Delta \omega _{pu}(t)} \cdot (P_{T}(t) - P_{E}(t)), \\ \frac{d \Delta \delta(t)}{dt} = \omega_{nom} \cdot \Delta \omega _{pu}(t). \end{cases} \end{equation}
Ввод относительной единицы мощности
Относительные единицы мощности вводятся для удобства описания системы уравнений движения. Всего будет рассмотрено два подхода к обозначению относительных единиц мощности: [math]P_{puP}=P/P_{T nom}[/math] и [math]P_{puS}=P/S_{nom}[/math], где [math]P_{T nom} \in \mathbb{R}_+^*[/math] - номинальная активная электричекая мощность генератора, а [math]S_{nom} \in \mathbb{R}_+^*[/math] - модуль номинальной полной мощности генератора.\footnote{Стоит заметить, что [math]pu[/math] (англ. per unit - относительная единица) в индексе мощности показывают факт того, что величина является относительной, а [math]P[/math] и [math]S[/math] - базовую величину, к кторой приведена относительная единица измерения.} В сущности, не важно, что брать базовой величиной для определения относительных величин, главное - чтобы сохранилось единообразие системы уравнений и не было противоречий в записи.
\subsubsection{Относительная единица мощности [math]P_{puP}=P/P_{T nom}[/math]}
Для первого подхода, соответственно, вводятся внешние переменные модели \begin{equation} \begin{aligned} P_{T puP}(t) \equiv P_T(t)/P_{T nom},\\ P_{E puP}(t) \equiv P_E(t)/P_{T nom}. \end{aligned} \end{equation} При подстановке этих переменных в систему уравнений (\ref{Motion_Eq_SI_Hj}), получается \begin{equation}\label{Motion_Eq_puT} \begin{cases} H_j \cdot \frac{d \Delta \omega_{pu}(t)}{dt}= \frac{P_{T nom}}{1 + \Delta \omega _{pu}(t)} \cdot (P_{T puP}(t) - P_{E puP}(t)), \\ \frac{d \Delta \delta(t)}{dt} = \omega_{nom} \cdot \Delta \omega _{pu}(t), \end{cases} \end{equation} или, если разделить левую и правую части первого уравнения (\ref{Motion_Eq_puT}) на [math]P_{T nom}[/math], \begin{equation}\label{Motion_Eq_puT1} \begin{cases} \frac{H_j}{P_{T nom}} \frac{d \Delta \omega_{pu}(t)}{dt}= \frac{1}{1 + \Delta \omega _{pu}(t)} \cdot (P_{T puP}(t) - P_{E puP}(t)), \\ \frac{d \Delta \delta(t)}{dt} = \omega_{nom} \cdot \Delta \omega _{pu}(t). \end{cases} \end{equation} Теперь, для системы уравнений (\ref{Motion_Eq_puT1}) можно записать инерционную постоянную, которую в литературе принято обозначать, как [math]\tau_j \in \mathbb{R}_+^*[/math] и называть постоянной времени. Для однозначности толкования относительно подхода, при котором она будет вычислена, дадим ей соответствующий индекс и дадим определение: \begin{equation}\label{tau_jP} \tau_{jP} \equiv \frac{H_j}{P_{T nom}} \equiv J \cdot \frac{ \omega_{nom}^2}{P_{T nom}}. \end{equation} С учетом, что [math][W]=[V\cdot A]=[kg\cdot m^2/s^3][/math], единицей измерения [math]\tau_{jP}[/math] в системе СИ является [math][1/s][/math].
Перепишем систему уравнений (\ref{Motion_Eq_puT1}) с учетом параметра (\ref{tau_jP}): \begin{equation}\label{Motion_Eq_puT2} \begin{cases} \tau_{jP} \cdot \frac{d \Delta \omega_{pu}(t)}{dt}= \frac{1}{1 + \Delta \omega _{pu}(t)} \cdot (P_{T puT}(t) - P_{E puT}(t)), \\ \frac{d \Delta \delta(t)}{dt} = \omega_{nom} \cdot \Delta \omega _{pu}(t). \end{cases} \end{equation}
Относительная единица мощности
Относительная единица мощности - [math]P_{puS}=P/S_{nom}[/math].
Для второго подхода, изложенные выше рассуждения, повторяются с тем лишь изменением, что на месте [math]P_{T nom}[/math] будет стоять [math]S_{nom}[/math]. Постоянная времени в этом подходе будет имет обозначение [math]\tau_{jS}[/math]. Единицей измерения [math]\tau_{jS}[/math] в системе СИ является [math][1/s][/math], как и [math]\tau_{jP}[/math]. Приведем промежуточные системы уравнений вывода и обозначим переменные, опустив очевидные текстовые пояснения: \begin{equation} \begin{aligned} P_{T puS}(t) \equiv P_T(t)/S_{nom},\\ P_{E puS}(t) \equiv P_E(t)/S_{nom}. \end{aligned} \end{equation} \begin{equation}\label{Motion_Eq_puS} \begin{cases} H_j \cdot \frac{d \Delta \omega_{pu}(t)}{dt}= \frac{S_{nom}}{1 + \Delta \omega _{pu}(t)} \cdot (P_{T puS}(t) - P_{E puS}(t)), \\ \frac{d \Delta \delta(t)}{dt} = \omega_{nom} \cdot \Delta \omega _{pu}(t). \end{cases} \end{equation} \begin{equation}\label{Motion_Eq_puS1} \begin{cases} \frac{H_j}{S_{nom}} \frac{d \Delta \omega_{pu}(t)}{dt}= \frac{1}{1 + \Delta \omega _{pu}(t)} \cdot (P_{T puS}(t) - P_{E puS}(t)), \\ \frac{d \Delta \delta(t)}{dt} = \omega_{nom} \cdot \Delta \omega _{pu}(t). \end{cases} \end{equation} \begin{equation}\label{tau_jS} \tau_{jS} \equiv \frac{H_j}{S_{nom}} \equiv J \cdot \frac{ \omega_{nom}^2}{S_{nom}}. \end{equation} \begin{equation}\label{Motion_Eq_puS2} \begin{cases} \tau_{jS} \cdot \frac{d \Delta \omega_{pu}(t)}{dt}= \frac{1}{1 + \Delta \omega _{pu}(t)} \cdot (P_{T puS}(t) - P_{E puS}(t)), \\ \frac{d \Delta \delta(t)}{dt} = \omega_{nom} \cdot \Delta \omega _{pu}(t). \end{cases} \end{equation}
Комментарии к получившимся системам уравнений
Из записанного вывода можно выделить четыре эквивалентных формы записи системы дифференциальных уравнений движения:
- наиболее физичная система уравнений (\ref{Motion_Eq_SI_Power}), записанная полностью в абсолютных единицах, но неудобная в применении,
- используемая в зарубежных учебниках система уравнений (\ref{Motion_Eq_SI_Hj}),
- часто использемая в программных пакетах (\ref{Motion_Eq_puT2}),
- предлагаемая в российских учебниках (\ref{Motion_Eq_puS2}).
Как видно из рассуждений, все эти формы записи являются эквивалентными и отличаются друг от друга только составом переменных. Однако, стоит отметить, что при размышлениях об инерционности (массивности) синхронных машин удобнее всего использовать приведенный момент инерции агрегата [math]J[/math] из системы уравнений (\ref{Motion_Eq_SI_Power}) и описанный в (\ref{J}).
Из него, в частности, следует, что генератор тем инертнее и, как следствие, тем устойчивее, чем
- больше момент инерции ротора самого генератора [math]J_G[/math],
- больше момент инерции ротора турбины [math]J_T[/math],
- выше передаточный коэффициент редуктора между ротором генератора и турбины (при его наличии) [math]n_{rd}[/math],
- меньше число его пар полюсов [math]n_{sm}[/math].
Инерционность генератора, не зависит ни от квадрата номинальной угловой частоты сети [math]\omega_{nom}^2[/math], ни от номинальной мощности турбины [math]P_{T nom}[/math], ни от модуля номинальной полной мощности [math]S_{nom}[/math], как может показаться по определениям [math]H_j[/math], [math]\tau_{jP}[/math] и [math]\tau_{jS}[/math] из выражений (\ref{Hj}), (\ref{tau_jP}) и (\ref{tau_jS}), соответственно. Безусловно, эти величины могут опосредованно повлиять на величины, указанные в списке, однако, непосредственной зависимоти между инертностью генераторов и этими величинами не существует.
Перевод единиц измерения параметров моделей
Часто, во многих справочниках и документах на синхронные машины и турбины, параметры моделей приводятся не в тех величинах, как представлено в данной главе. В данном разделе приведен способ перевода параметров справочников из величин справочников в величины, указанные в разделах данной главы, для возможности их вычисления и использования при моделировании электромеханических переходных процессов. В данном разделе, где могут возникнуть разночтения, величины имеют снизу подпись о том, в каких величинах они измеряются. Переводы даны в обе стороны.
В зарубежных, да и в российских документах на синхронные двигатели часто для генераторов и турбин приведены значения величин моментов инерции [math]J[/math] в единице измерения [math][kg\cdot m^2][/math]. Такие величны можно использовать непосредственно, как указано в данной главе. Однако, во многих справочниках приведен маховый момент (в некоторой литературе, называемый, также, гравиметрический момент инерции) синхронного генератора и турбины [math]GD^2[/math].
Маховый момент [math]GD^2[/math] имеет такую же единицу измерения [math][kg \cdot m^2][/math], как и момент инерции [math]J[/math]. Чтобы перевести маховый момент [math]GD^2[/math] в момент инерции [math]J[/math] и наоборот, используются формулы \begin{equation}\label{J_GD2} J_{[kg \cdot m^2]} = GD^2_{[kg \cdot m^2]}/ 4, \end{equation} \begin{equation}\label{GD2_J} GD^2_{[kg \cdot m^2]} = J_{[kg \cdot m^2]}\cdot 4. \end{equation}
В справочниках и в документах на синхронные генераторы, вместо величины номинальной угловой частоты вращения [math]\omega_{[rad/s]}[/math], дается частота вращения [math]n_{[rpm]}[/math]. Чтобы перевести [math]n_{[rpm]}[/math] в [math]\omega_{[rad/s]}[/math] и обратно, используются выражения \begin{equation}\label{omega_n} \omega_{[rad/s]} = n_{[rpm]} \cdot\frac{2\cdot \pi}{60}, \end{equation} \begin{equation}\label{n_omega} n_{[rpm]} = \omega_{[rad/s]}\cdot \frac{60}{2\cdot \pi}. \end{equation}
Также бывает, что, вместо безразмерного числа пар полюсов машины [math]n_{sm}[/math], в справочнике дана частота вращения генератора [math]n_{G,[rpm]}[/math]. Тогда можно использовать формулы \begin{equation}\label{nsm_ng} n_{sm} = \frac{60\cdot f_{nom}}{n_{G,[rpm]}}=\frac{60\cdot 50[Hz]}{n_{G,[rpm]}}, \end{equation} \begin{equation}\label{ng_nsm} n_{G,[rpm]} = \frac{n_{sm}}{60\cdot f_{nom}}=\frac{n_{sm}}{60\cdot 50[Hz]}. \end{equation}
Преобразования величин [math][MW]\leftrightarrow [W][/math], [math][MV\cdot A]\leftrightarrow [V\cdot A][/math], [math][t]\leftrightarrow [kg][/math], [math][rad/s]\leftrightarrow [Hz]\leftrightarrow [rpm][/math] не приводятся, ввиду их тривиальности.
Пример выполнения преобразований
Проиллюстрируем преобразования на примере, когда известны:
- [math]GD^2_{T,[t\cdot m^2]}[/math] - маховый момент ротора турбины,
- [math]GD^2_{G[t\cdot m^2]}[/math] - маховый момент ротора генератора,
- [math]S_{nom,[MV\cdot A]}[/math] - номинальная активная мощность генератора,
- [math]n_{nomG,[rpm]}=3000[rpm][/math] - номинальное количество оборотов в минуту генератора.
Будем считать, что ротор турбины и ротор генератора находятся на одном валу (редуктора нет, [math]n_{rd}=1[/math]). Найдем для этого случая [math]\tau_{jS,[1/s]}[/math].
Как известно из (\ref{tau_jS}), \begin{equation}\label{taujEx} \tau_{jS,[1/s]}=J_{[kg\cdot m^2]}\cdot \frac{\omega_{nom,[rad/s]}^2}{S_{nom,[V\cdot A]}}. \end{equation}
[math]J_{[kg\cdot m^2]}[/math] в выражении (\ref{taujEx}) можно вычислить, используя выражение (\ref{J}): \begin{equation}\label{J_valsEx1} J_{[kg\cdot m^2]}=\frac{1}{n_{sm}}\cdot \left(J_{G,[kg\cdot m^2]} + n_{rd}\cdot J_{T,[kg\cdot m^2]} \right)=\frac{1}{n_{sm}}\cdot \left(J_{G,[kg\cdot m^2]} + J_{T,[kg\cdot m^2]}\right). \end{equation} Вычислим число пар полюсов [math]n_{sm}[/math] для данного генератора через известное [math]n_{nomG,[rpm]}[/math], используя выражение (\ref{nsm_ng}): \begin{equation}\label{nsm_ngEx} n_{sm}=\frac{60\cdot 50[Hz]}{n_{G,[rpm]}}=\frac{60\cdot 50[Hz]}{3000[rpm]}=1. \end{equation} Можно заметить, что генератор является турбогенератором (число пар полюсов [math]n_{sm}=1[/math]). Подставим вычисленный [math]n_{sm}[/math] в выражение (\ref{nsm_ngEx}) \begin{equation}\label{J_valsEx1} J_{[kg\cdot m^2]}=\frac{1}{n_{sm}}\cdot \left(J_{G,[kg\cdot m^2]} + J_{T,[kg\cdot m^2]}\right)=J_{G,[kg\cdot m^2]} + J_{T,[kg\cdot m^2]}. \end{equation} Выражения переводов (\ref{J_GD2}) позволяют вычислить [math]J_{G,[kg\cdot m^2]}[/math] и [math]J_{T,[kg\cdot m^2]}[/math] в выражении (\ref{J_valsEx1}) \begin{equation}\label{JGT_vals} \begin{aligned} J_{G,[kg \cdot m^2]} = GD^2_{G,[kg \cdot m^2]}/ 4=GD^2_{G,[t \cdot m^2]}\cdot 10^3/ 4, \\ J_{T,[kg \cdot m^2]} = GD^2_{T,[kg \cdot m^2]}/ 4=GD^2_{G,[t \cdot m^2]}\cdot 10^3/ 4. \end{aligned} \end{equation}
Вычислим итоговый [math]J_{[kg\cdot m^2]}[/math], подставив в выражение (\ref{J_valsEx1}) [math]J_{G,[kg \cdot m^2]}[/math] и [math]J_{T,[kg \cdot m^2]}[/math] из выражения (\ref{JGT_vals}) \begin{equation}\label{J_valsEx2} \begin{aligned} &J_{[kg\cdot m^2]}=J_{G,[kg\cdot m^2]} + J_{T,[kg\cdot m^2]}=. \\ &=\left( \frac{GD^2_{G,[t \cdot m^2]}\cdot 10^3}{4} + \frac{GD^2_{T,[t \cdot m^2]}\cdot 10^3}{4}\right)= \\ &=\frac{10^3}{4} \cdot \left(GD^2_{G,[t \cdot m^2]} + GD^2_{T,[t \cdot m^2]}\right). \end{aligned} \end{equation}
Вычислим итоговый [math]\tau_{jS,[1/s]}[/math], подставив в выражение (\ref{taujEx}) [math]J_{[kg\cdot m^2]}[/math], приведенный в выражении (\ref{J_valsEx2}), а также данное в начале примера [math]S_{nom,[MV\cdot A]}[/math], учитывая, что [math]S_{nom,[V\cdot A]}[/math] в выражении (\ref{taujEx}) измеряется в [math][V\cdot A][/math] \begin{equation}\label{tauj_ExRes1} \begin{aligned} &\tau_{jS,[1/s]}=J_{[kg\cdot m^2]}\cdot \frac{\omega_{nom,[rad/s]}^2}{S_{nom,[V\cdot A]}}= \\ &=\frac{10^3}{4} \cdot \left(GD^2_{G,[t \cdot m^2]} + GD^2_{T,[t \cdot m^2]}\right)\cdot \frac{\omega_{nom,[rad/s]}^2}{S_{nom,[V\cdot A]}}= \\ &=\frac{1}{4} \cdot \left(GD^2_{G,[t \cdot m^2]} + GD^2_{T,[t \cdot m^2]}\right)\cdot \frac{(2\cdot \pi \cdot 50[Hz])^2}{S_{nom,[MV\cdot A]}\cdot 10^3}= \\ &=\frac{(\pi \cdot 50[Hz])^2}{10^3}\cdot \frac{\left(GD^2_{G,[t \cdot m^2]} + GD^2_{T,[t \cdot m^2]}\right)}{S_{nom,[MV\cdot A]}} = \\ &=\frac{2.5\cdot \pi^2 \cdot \left(GD^2_{G,[t \cdot m^2]} + GD^2_{T,[t \cdot m^2]}\right)}{S_{nom,[MV\cdot A]}\cdot [s^2]} = \\ &=\frac{24.674 \cdot \left(GD^2_{G,[t \cdot m^2]} + GD^2_{T,[t \cdot m^2]}\right)}{S_{nom,[MV\cdot A]}\cdot [s^2]}. \end{aligned} \end{equation}
Заметим, что при выводе (\ref{tauj_ExRes1}), учитывая, что [math]n_{nom,[rpm]}\equiv f_{nom,[Hz]}\cdot 60[/math], можно было вычислить известную по учебникам формулу \begin{equation}\label{tauj_ExRes2} \begin{aligned} &\tau_{jS,[1/s]}=\frac{10^3}{4} \cdot \left(GD^2_{G,[t \cdot m^2]} + GD^2_{T,[t \cdot m^2]}\right)\cdot \frac{\omega_{nom,[rad/s]}^2}{S_{nom,[V\cdot A]}}= \\ &=\frac{1}{4} \cdot \left(GD²_{G,[t \cdot m²]} + GD²_{T,[t \cdot m²]}\right)\cdot \frac{(2\cdot \pi \cdot n_{nom, [rpm]}/60)²}{S_{nom, [MV\cdot A]}\cdot 10³}= \\ &=\left(GD²_{G,[t \cdot m²]} + GD²_{T,[t \cdot m²]}\right)\cdot \frac{(\pi \cdot n_{nom, [rpm]}/60)²}{S_{nom, [MV\cdot A]}\cdot 10³}= \\ &=\frac{\pi²}{3600\cdot 10³} \cdot \frac{\left(GD²_{G,[t \cdot m²]} + GD²_{T,[t \cdot m²]}\right)\cdot n_{nom, [rpm]}²}{S_{nom, [MV\cdot A]}\cdot [s²]}= \\ &=2.741557\cdot 10^{-6} \cdot \frac{\left(GD²_{G,[t \cdot m²]} + GD²_{T,[t \cdot m²]}\right)\cdot n_{nom, [rpm]}²}{S_{nom, [MV\cdot A]}\cdot [s²]}. \end{aligned} \end{equation}
Литература
- Веников В. А. В29. Переходные электромеханические процессы в элек трических системах: Учеб. для электроэиергст. спец. ву зов.— 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1985.—. 536 с.