Уравнение движения генератора

Расчет уравнений движения в относительных единицах

Все величины в данной главе, за исключением разделов, где явно указано обратное, измеряются в единицах измерения СИ. Переменная [math] t\in \mathbb{R} [/math] -- время, единицей измерения которого является, [math][s][/math]. Величины, меняющиеся во времени, представлены функциями, областью определения которых является время. При определении указываются единицы измерения области значений функций от времени. Область их определения всегда имеет единицу измерения [math][s][/math].

Уравнение движения в абсолютных единицах

Генераторный агрегат -- механическая система, состоящая из статора генератора, подключенного к электрической сети, вращающихся ротора генератора и ротора турбины. Ротор генератора имеет механическую связь с ротором турбины. К ротору генератора приложены моменты электромагнитных сил от статора генератора и момент от ротора турбины.

Описание механической модели генераторного агрегата

В общем случае, ротор турбины может быть механически связан с ротором генератора через редуктор, или через вал. Обозначим за [math]n_{rd} \in \mathbb{R}_+^*[/math] передаточное отношение редуктора. Очевидно, что [math]n_{rd}[/math] остается постоянным в любой момент времени. Если ротор турбины связан с ротором генератора через вал, тогда [math]n_{rd}=1[/math]. Стоит отметить, что механическая связь ротора генератора и ротора турбины посредством редуктора -- явление крайне редкое, ввиду низкой надежности подобной связи и снижения общего КПД установки ввиду механических потерь в редукторе, однако, для общего случая, рассмотрим и ее.

Параметрами состояния в модели электромеханической системы генераторного агрегата, в общем случае, будем считать:

• [math]\delta_G(t) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/math] -- угол поворота ротора генератора относительно условно-нулевого положения, измеряемый в [math][rad][/math],
• [math]\delta_T(t) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/math] -- угол поворота ротора турбины относительно условно-нулевого положения, измеряемый в [math][rad][/math],
• [math]\omega_{G}(t)\equiv d \delta_G(t)/d t[/math] -- угловая частота ротора генератора, измеряемая в [math][rad/s][/math],
• [math]\omega_{T}(t)\equiv d \delta_T(t)/d t[/math] -- угловая частота ротора турбины, измеряемая в [math][rad/s][/math].

Зададим условно-нулевое положение ротора турбины и ротора генератора таким образом, что [math]\delta_G(0)=\delta_T(0)=0[/math].

Параметрами модели электромеханической системы генераторного агрегата будем считать:

• $J_G \in \mathbb{R}_+^*$ -- момент инерции ротора генератора, измеряемый в $[kg\cdot m^2]$,
• $J_T \in \mathbb{R}_+^*$ -- момент инерции ротора турбины, измеряемый в $[kg\cdot m^2]$.
• $n_{rd} \equiv \omega_{T}(t)/\omega_{G}(t)\in \mathbb{R}_+^*$ -- передаточное отношение редуктора, величина безразмерная.

Внешними параметрами модели электромеханической системы генераторного агрегата будем считать:

• $T_T(t): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ -- момент, действующий со стороны ротора турбины на ротор генератора, измеряемый в $[N\cdot m]$,
• $T_E(t): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ -- момент, действующий со стороны электромагнитного поля генератора на ротор генератора, измеряемый в $[N\cdot m]$.

В системе единиц СИ общая система уравнений, описывающих движение элементов агрегата, выглядит следующим образом: \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_Torque_Full1} \begin{cases} J_G \cdot \frac{d \omega_G(t)}{dt} + J_T \cdot \frac{d \omega_T(t)}{dt} = T_T(t) - T_E(t), \\ \frac{d \delta_G(t)}{dt} = \omega_G(t), \\ \frac{d \delta_T(t)}{dt} = \omega_T(t), \\ n_{rd} = \omega_{T}(t)/\omega_{G}(t). \end{cases} \end{equation}

Преобразование модели генераторного агрегата

Из четвертого уравнения (\ref{Motion_Eq_SI_Torque_Full1}) следует, что

[math]\omega_{T}(t)=n_{rd}\cdot \omega_{G}(t)[/math].

Подставим это выражение в первое и третье уравнения системы. Перепишем систему (\ref{Motion_Eq_SI_Torque_Full1}) \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_Torque_Full2} \begin{cases} J_G \cdot \frac{d \omega_{G}(t)}{dt} + J_T \cdot \frac{d ( n_{rd}\cdot \omega_{G}(t))}{dt} = T_T(t) - T_E(t), \\ \frac{d \delta_G(t)}{dt} = \omega_G(t), \\ \frac{d \delta_T(t)}{dt} = n_{rd}\cdot \omega_{G}(t). \end{cases} \end{equation}

Заметим, что из второго и третьего уравнений системы (\ref{Motion_Eq_SI_Torque_Full2}) следует, что $\delta_T(t) = \delta_G(t)/n_{rd}$. Из этого следует, что $\delta_T(t)$ можно сделать зависимой переменной и изъять из рассмторения, ввиду того, что ее значение можно легко вычислить для любого момента времени из $\delta_G(t)$. Полученная система уравнений выглядит следующим образом: \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_Torque_Full3} \begin{cases} \left(J_G + n_{rd}\cdot J_T \right) \cdot \frac{d \omega_{G}(t)}{dt} = T_T(t) - T_E(t), \\ \frac{d \delta_G(t)}{dt} = \omega_G(t). \end{cases} \end{equation}

Для практических расчетов, когда в рассмотрение берутся несколько генераторов, связанных электрической сетью с частотой $f_{nom}=50[Hz]$ и угловой частотой $\omega_{nom}=2\cdot \pi \cdot f_{nom}$, удобным оказывается учесть, что, в общем случае, ротор генератора может нормально вращаться с номинальной угловой частотой $\omega_{G.nom} \in \mathbb{R}_+^*$, отличной от номинальной угловой частоты электрической сети $\omega_{nom}$. Такое происходит, когда на генераторе число пар полюсов $n_{sm}\equiv \omega_{nom}/\omega_{G.nom}$ отличается от $1$. Число пар полюсов $n_{sm}\in \mathbb{N}$ является безразмерной величиной. Обычно на турбогенераторах число пар полюсов $n_{sm}=1$, на гидрогенераторах обычно $n_{sm}>1$.

Введем переменные состояния такие, что \begin{equation}\label{deltaomega} \begin{aligned} \delta(t) &\equiv \delta_G(t)\cdot n_{sm}, \\ \omega(t) &\equiv \omega_{G}(t)\cdot n_{sm}. \end{aligned} \end{equation} Отметим, что \begin{equation}\label{deltaomega_prop} \begin{aligned} \delta_G(t)&=\delta(t)/n_{sm}, \\ d(\delta_G(t))&=d(\delta(t))/n_{sm}, \\ \omega_{G}(t) &= \omega(t)/n_{sm}, \\ d(\omega_{G}(t)) &= d(\omega(t))/n_{sm}. \end{aligned} \end{equation}

Перепишем систему уравнений (\ref{Motion_Eq_SI_Torque_Full3}) через переменные (\ref{deltaomega}) \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_Torque0} \begin{cases} \frac{1}{n_{sm}}\cdot \left(J_G + n_{rd}\cdot J_T \right) \cdot \frac{d \omega(t)}{dt} = T_T(t) - T_E(t), \\ \frac{d \delta(t)}{dt} = \omega(t). \end{cases} \end{equation}

Чтобы не загромождать запись, введем переменную модели \begin{equation}\label{J} J=\frac{1}{n_{sm}}\cdot \left(J_G + n_{rd}\cdot J_T \right), \end{equation} являющуюся, в сущности, приведенным моментом инерции системы ротор генератора-ротор турбины, который измеряется в $[kg\cdot m^2]$.

В итоге, при подстановке (\ref{J}) в уравнение (\ref{Motion_Eq_SI_Torque0}), получим \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_Torque} \begin{cases} J \cdot \frac{d \omega(t)}{dt} = T_T(t) - T_E(t), \\ \frac{d \delta(t)}{dt} = \omega(t). \end{cases} \end{equation}

В качестве входных параметров модели генераторного агрегата часто используют не моменты сил, прикладываемых к валу ротора, а мощности, затрачиваемые на действие этих моментов. Как известно, $P(t)=T(t)\cdot \omega(t)$, или $T(t)=\frac{P(t)}{\omega(t)}$. Тогда перепишем уравнение (\ref{Motion_Eq_SI_Torque}), как \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_Power} \begin{cases} J \cdot \frac{d \omega(t)}{dt}= \frac{1}{\omega(t)}\cdot (P_T(t) - P_E(t)), \\ \frac{d \delta(t)}{dt} = \omega(t). \end{cases} \end{equation}

\subsection{Описание преобразованной модели генераторного агрегата}

Очевидно, что после преобразований раздела \ref{subsection2}, первоначальная модель, приведенная в начале раздела \ref{subsection1}, претерпела изменения. Итоговое описание модели приведено ниже.

Параметрами состояния в модели электромеханической системы генераторного агрегата, будем считать:

• $\delta(t) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ -- приведенный угол поворота ротора генератора относительно условно-нулевого положения, измеряемый в $[rad]$,
• $\omega(t)\equiv d \delta(t)/d t$ -- приведенная угловая частота ротора генератора, измеряемая в $[rad/s]$.

Параметрами модели электромеханической системы генераторного агрегата будем считать:

• $J \in \mathbb{R}_+^*$ -- приведенный момент инерции ротора генератора, измеряемый в $[kg\cdot m^2]$.

Внешними параметрами модели электромеханической системы генераторного агрегата будем считать:

• $P_T(t): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ -- мощность, затрачиваемая на действие момента, действующего со стороны ротора турбины на ротор генератора, измеряемая в $[W]$,
• $P_E(t): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ -- мощность, затрачиваемая на действие момента, действующего со стороны электромагнитного поля генератора на ротор генератора, измеряемая в $[W]$.

В системе единиц СИ общая система уравнений, описывающих движение элементов агрегата приведено в (\ref{Motion_Eq_SI_Power}).

Уравнение движения в относительных единицах

Система относительных единиц - система единиц, использующаяся в электроэнергетических расчетах, при которой значения величин параметров рассчитываются относительно некоторых базовых величин. Вводится она, чаще всего, для удобства расчета электромеханических переходных процессов в сложных многомашинных системах. Строго, система базовых величин (как и система относительных единиц) определена для величин напряжения, мощности, тока, сопротивления и проводимости. В данном разделе, только мощность является относительной величиной в строгом смысле этого понятия. Однако, исходя из контекста, относительные величины можно определить, также, для величин угла ротора генератора и угловой частоты ротора генератора.

Ввод относительной единицы угла ротора

Часто, при расчетах электромеханических переходных процессов, оказывается важным контролировать не приведенный угол поворота ротора $\delta(t)$, а приведенный угол поворота ротора относительно некоторой синхронно вращающейся c угловой частотой $\omega_{nom}$ системы координат. Соответственно, введем, относительную единицу угла ротора \begin{equation} \Delta \delta(t)=\delta(t)-\omega_{nom} \cdot t. \end{equation}

Отметим, что \begin{equation}\label{ddelta} \begin{aligned} \delta(t) &=\Delta \delta(t)+\omega_{nom} \cdot t, \\ d(\delta(t)) &=d\Delta \delta(t)+\omega_{nom} \cdot d t. \end{aligned} \end{equation}

С учетом (\ref{ddelta}), перепишем уравненение (\ref{Motion_Eq_SI_Power}) в виде \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_d} \begin{cases} J \cdot \frac{d \omega(t)}{dt}= \frac{1}{\omega(t)}\cdot (P_T(t) - P_E(t)), \\ \frac{d\Delta \delta(t)}{dt} = \omega(t)-\omega_{nom}. \end{cases} \end{equation}

\subsection{Ввод относительной единицы угловой частоты}

Относительной единицей угловой частоты будем считать безразмерную величину, называемую скольжением и определенную, как \begin{equation} \Delta \omega _{pu}(t) \equiv \frac{\omega(t) - \omega_{nom}}{\omega_{nom}}. \end{equation} Следует заметить, что при таком вводе относительной единицы угловой частоты при $\Delta \omega _{pu}(t)=0$, приведенная угловая частота вращения синхронного генератора $\omega(t)=\omega_{nom}$.

Отметим, что \begin{equation}\label{domega} \begin{aligned} \omega(t)&=\omega_{nom} \cdot (1 + \Delta \omega _{pu}(t))=\omega_{nom} \cdot \Delta \omega _{pu}(t) + \omega_{nom}, \\ d(\omega(t)) &= d(\omega_{nom} \cdot (1 + \Delta \omega _{pu})) = \omega_{nom} \cdot d\Delta \omega _{pu}. \end{aligned} \end{equation}

С учетом (\ref{domega}), перепишем уравненение (\ref{Motion_Eq_SI_d}) в виде \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_PUWd0} \begin{cases} J \cdot \omega_{nom} \cdot \frac{d \Delta \omega_{pu}(t)}{dt}= \frac{1}{\omega_{nom} \cdot (1 + \Delta \omega _{pu}(t))} \cdot (P_{T}(t) - P_{E}(t)), \\ \frac{d \Delta \delta(t)}{dt} = \omega_{nom} \cdot \Delta \omega_{pu}(t). \end{cases} \end{equation}

Для удобства, умножим левую и правую части первого уравнения системы уравнений (\ref{Motion_Eq_SI_PUWd0}) на $\omega_{nom}$. Тогда, систему уравнений (\ref{Motion_Eq_SI_PUWd0}) можно переписать в виде \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_PUWdw} \begin{cases} J \cdot \omega_{nom}^2 \cdot \frac{d \Delta \omega_{pu}(t)}{dt}= \frac{1}{1 + \Delta \omega _{pu}(t)} \cdot (P_{T}(t) - P_{E}(t)), \\ \frac{d \Delta \delta(t)}{dt} = \omega_{nom} \cdot \Delta \omega _{pu}(t). \end{cases} \end{equation}

На данном этапе существует возможность свернуть множитель, который не зависит от переменных состояния для сокращения записи, который будет выражен, как \begin{equation}\label{Hj} H_j\equiv J \cdot \omega_{nom}^2. \end{equation} Этот параметр иногда дается в зарубежных учебниках и его можно использовать при вычислениях, при условии правильного пересчета коэффициентов в системе уравнений. Очевидно, что единицей измерения $H_j$ в системе СИ является $[kg \cdot m^2\cdot s^2]$.

Перепишем систему уравнений (\ref{Motion_Eq_SI_PUWdw}) с учетом (\ref{Hj}) \begin{equation}\label{Motion_Eq_SI_Hj} \begin{cases} H_j \cdot \frac{d \Delta \omega_{pu}(t)}{dt}= \frac{1}{1 + \Delta \omega _{pu}(t)} \cdot (P_{T}(t) - P_{E}(t)), \\ \frac{d \Delta \delta(t)}{dt} = \omega_{nom} \cdot \Delta \omega _{pu}(t). \end{cases} \end{equation}

Ввод относительной единицы мощности

Относительные единицы мощности вводятся для удобства описания системы уравнений движения. Всего будет рассмотрено два подхода к обозначению относительных единиц мощности: $P_{puP}=P/P_{T nom}$ и $P_{puS}=P/S_{nom}$, где $P_{T nom} \in \mathbb{R}_+^*$ -- номинальная активная электричекая мощность генератора, а $S_{nom} \in \mathbb{R}_+^*$ -- модуль номинальной полной мощности генератора.\footnote{Стоит заметить, что $pu$ (англ. per unit -- относительная единица) в индексе мощности показывают факт того, что величина является относительной, а $P$ и $S$ -- базовую величину, к кторой приведена относительная единица измерения.} В сущности, не важно, что брать базовой величиной для определения относительных величин, главное -- чтобы сохранилось единообразие системы уравнений и не было противоречий в записи.

\subsubsection{Относительная единица мощности $P_{puP}=P/P_{T nom}$}

Для первого подхода, соответственно, вводятся внешние переменные модели \begin{equation} \begin{aligned} P_{T puP}(t) \equiv P_T(t)/P_{T nom},\\ P_{E puP}(t) \equiv P_E(t)/P_{T nom}. \end{aligned} \end{equation} При подстановке этих переменных в систему уравнений (\ref{Motion_Eq_SI_Hj}), получается \begin{equation}\label{Motion_Eq_puT} \begin{cases} H_j \cdot \frac{d \Delta \omega_{pu}(t)}{dt}= \frac{P_{T nom}}{1 + \Delta \omega _{pu}(t)} \cdot (P_{T puP}(t) - P_{E puP}(t)), \\ \frac{d \Delta \delta(t)}{dt} = \omega_{nom} \cdot \Delta \omega _{pu}(t), \end{cases} \end{equation} или, если разделить левую и правую части первого уравнения (\ref{Motion_Eq_puT}) на $P_{T nom}$, \begin{equation}\label{Motion_Eq_puT1} \begin{cases} \frac{H_j}{P_{T nom}} \frac{d \Delta \omega_{pu}(t)}{dt}= \frac{1}{1 + \Delta \omega _{pu}(t)} \cdot (P_{T puP}(t) - P_{E puP}(t)), \\ \frac{d \Delta \delta(t)}{dt} = \omega_{nom} \cdot \Delta \omega _{pu}(t). \end{cases} \end{equation} Теперь, для системы уравнений (\ref{Motion_Eq_puT1}) можно записать инерционную постоянную, которую в литературе принято обозначать, как $\tau_j \in \mathbb{R}_+^*$ и называть постоянной времени. Для однозначности толкования относительно подхода, при котором она будет вычислена, дадим ей соответствующий индекс и дадим определение: \begin{equation}\label{tau_jP} \tau_{jP} \equiv \frac{H_j}{P_{T nom}} \equiv J \cdot \frac{ \omega_{nom}^2}{P_{T nom}}. \end{equation} С учетом, что $[W]=[V\cdot A]=[kg\cdot m^2/s^3]$, единицей измерения $\tau_{jP}$ в системе СИ является $[1/s]$.

Перепишем систему уравнений (\ref{Motion_Eq_puT1}) с учетом параметра (\ref{tau_jP}): \begin{equation}\label{Motion_Eq_puT2} \begin{cases} \tau_{jP} \cdot \frac{d \Delta \omega_{pu}(t)}{dt}= \frac{1}{1 + \Delta \omega _{pu}(t)} \cdot (P_{T puT}(t) - P_{E puT}(t)), \\ \frac{d \Delta \delta(t)}{dt} = \omega_{nom} \cdot \Delta \omega _{pu}(t). \end{cases} \end{equation}

Относительная единица мощности

Относительная единица мощности - [math]P_{puS}=P/S_{nom}[/math].

Для второго подхода, изложенные выше рассуждения, повторяются с тем лишь изменением, что на месте [math]P_{T nom}[/math] будет стоять [math]S_{nom}[/math]. Постоянная времени в этом подходе будет имет обозначение [math]\tau_{jS}[/math]. Единицей измерения [math]\tau_{jS}[/math] в системе СИ является [math][1/s][/math], как и [math]\tau_{jP}[/math]. Приведем промежуточные системы уравнений вывода и обозначим переменные, опустив очевидные текстовые пояснения: \begin{equation} \begin{aligned} P_{T puS}(t) \equiv P_T(t)/S_{nom},\\ P_{E puS}(t) \equiv P_E(t)/S_{nom}. \end{aligned} \end{equation} \begin{equation}\label{Motion_Eq_puS} \begin{cases} H_j \cdot \frac{d \Delta \omega_{pu}(t)}{dt}= \frac{S_{nom}}{1 + \Delta \omega _{pu}(t)} \cdot (P_{T puS}(t) - P_{E puS}(t)), \\ \frac{d \Delta \delta(t)}{dt} = \omega_{nom} \cdot \Delta \omega _{pu}(t). \end{cases} \end{equation} \begin{equation}\label{Motion_Eq_puS1} \begin{cases} \frac{H_j}{S_{nom}} \frac{d \Delta \omega_{pu}(t)}{dt}= \frac{1}{1 + \Delta \omega _{pu}(t)} \cdot (P_{T puS}(t) - P_{E puS}(t)), \\ \frac{d \Delta \delta(t)}{dt} = \omega_{nom} \cdot \Delta \omega _{pu}(t). \end{cases} \end{equation} \begin{equation}\label{tau_jS} \tau_{jS} \equiv \frac{H_j}{S_{nom}} \equiv J \cdot \frac{ \omega_{nom}^2}{S_{nom}}. \end{equation} \begin{equation}\label{Motion_Eq_puS2} \begin{cases} \tau_{jS} \cdot \frac{d \Delta \omega_{pu}(t)}{dt}= \frac{1}{1 + \Delta \omega _{pu}(t)} \cdot (P_{T puS}(t) - P_{E puS}(t)), \\ \frac{d \Delta \delta(t)}{dt} = \omega_{nom} \cdot \Delta \omega _{pu}(t). \end{cases} \end{equation}

Комментарии к получившимся системам уравнений

Из записанного вывода можно выделить четыре эквивалентных формы записи системы дифференциальных уравнений движения:

• наиболее физичная система уравнений (\ref{Motion_Eq_SI_Power}), записанная полностью в абсолютных единицах, но неудобная в применении,
• используемая в зарубежных учебниках система уравнений (\ref{Motion_Eq_SI_Hj}),
• часто использемая в программных пакетах (\ref{Motion_Eq_puT2}),
• предлагаемая в российских учебниках (\ref{Motion_Eq_puS2}).

Как видно из рассуждений, все эти формы записи являются эквивалентными и отличаются друг от друга только составом переменных. Однако, стоит отметить, что при размышлениях об инерционности (массивности) синхронных машин удобнее всего использовать приведенный момент инерции агрегата $J$ из системы уравнений (\ref{Motion_Eq_SI_Power}) и описанный в (\ref{J}). Из него, в частности, следует, что генератор тем инертнее и, как следствие, тем устойчивее, чем

• больше момент инерции ротора самого генератора $J_G$,
• больше момент инерции ротора турбины $J_T$,
• выше передаточный коэффициент редуктора между ротором генератора и турбины (при его наличии) $n_{rd}$,
• меньше число его пар полюсов $n_{sm}$.

Инерционность генератора, не зависит ни от квадрата номинальной угловой частоты сети $\omega_{nom}^2$, ни от номинальной мощности турбины $P_{T nom}$, ни от модуля номинальной полной мощности $S_{nom}$, как может показаться по определениям $H_j$, $\tau_{jP}$ и $\tau_{jS}$ из выражений (\ref{Hj}), (\ref{tau_jP}) и (\ref{tau_jS}), соответственно. Безусловно, эти величины могут опосредованно повлиять на величины, указанные в списке, однако, непосредственной зависимоти между инертностью генераторов и этими величинами не существует.

Перевод единиц измерения параметров моделей

Часто, во многих справочниках и документах на синхронные машины и турбины, параметры моделей приводятся не в тех величинах, как представлено в данной главе. В данном разделе приведен способ перевода параметров справочников из величин справочников в величины, указанные в разделах данной главы, для возможности их вычисления и использования при моделировании электромеханических переходных процессов. В данном разделе, где могут возникнуть разночтения, величины имеют снизу подпись о том, в каких величинах они измеряются. Переводы даны в обе стороны.

В зарубежных, да и в российских документах на синхронные двигатели часто для генераторов и турбин приведены значения величин моментов инерции $J$ в единице измерения $[kg\cdot m^2]$. Такие величны можно использовать непосредственно, как указано в данной главе. Однако, во многих справочниках приведен маховый момент (в некоторой литературе, называемый, также, гравиметрический момент инерции) синхронного генератора и турбины $GD^2$.

Маховый момент $GD^2$ имеет такую же единицу измерения $[kg \cdot m^2]$, как и момент инерции $J$. Чтобы перевести маховый момент $GD^2$ в момент инерции $J$ и наоборот, используются формулы \begin{equation}\label{J_GD2} J_{[kg \cdot m^2]} = GD^2_{[kg \cdot m^2]}/ 4, \end{equation} \begin{equation}\label{GD2_J} GD^2_{[kg \cdot m^2]} = J_{[kg \cdot m^2]}\cdot 4. \end{equation}

В справочниках и в документах на синхронные генераторы, вместо величины номинальной угловой частоты вращения $\omega_{[rad/s]}$, дается частота вращения $n_{[rpm]}$. Чтобы перевести $n_{[rpm]}$ в $\omega_{[rad/s]}$ и обратно, используются выражения \begin{equation}\label{omega_n} \omega_{[rad/s]} = n_{[rpm]} \cdot\frac{2\cdot \pi}{60}, \end{equation} \begin{equation}\label{n_omega} n_{[rpm]} = \omega_{[rad/s]}\cdot \frac{60}{2\cdot \pi}. \end{equation}

Также бывает, что, вместо безразмерного числа пар полюсов машины $n_{sm}$, в справочнике дана частота вращения генератора $n_{G,[rpm]}$. Тогда можно использовать формулы \begin{equation}\label{nsm_ng} n_{sm} = \frac{60\cdot f_{nom}}{n_{G,[rpm]}}=\frac{60\cdot 50[Hz]}{n_{G,[rpm]}}, \end{equation} \begin{equation}\label{ng_nsm} n_{G,[rpm]} = \frac{n_{sm}}{60\cdot f_{nom}}=\frac{n_{sm}}{60\cdot 50[Hz]}. \end{equation}

Преобразования величин $[MW]\leftrightarrow [W]$, $[MV\cdot A]\leftrightarrow [V\cdot A]$, $[t]\leftrightarrow [kg]$, $[rad/s]\leftrightarrow [Hz]\leftrightarrow [rpm]$ не приводятся, ввиду их тривиальности.

Пример выполнения преобразований

Проиллюстрируем преобразования на примере, когда известны:

• $GD^2_{T,[t\cdot m^2]}$ - маховый момент ротора турбины,
• [math]GD^2_{G[t\cdot m^2]}[/math] - маховый момент ротора генератора,
• [math]S_{nom,[MV\cdot A]}[/math] - номинальная активная мощность генератора,
• [math]n_{nomG,[rpm]}=3000[rpm][/math] - номинальное количество оборотов в минуту генератора.

Будем считать, что ротор турбины и ротор генератора находятся на одном валу (редуктора нет, [math]n_{rd}=1[/math]). Найдем для этого случая [math]\tau_{jS,[1/s]}[/math].

Как известно из (\ref{tau_jS}), \begin{equation}\label{taujEx} \tau_{jS,[1/s]}=J_{[kg\cdot m^2]}\cdot \frac{\omega_{nom,[rad/s]}^2}{S_{nom,[V\cdot A]}}. \end{equation}

[math]J_{[kg\cdot m^2]}[/math] в выражении (\ref{taujEx}) можно вычислить, используя выражение (\ref{J}): \begin{equation}\label{J_valsEx1} J_{[kg\cdot m^2]}=\frac{1}{n_{sm}}\cdot \left(J_{G,[kg\cdot m^2]} + n_{rd}\cdot J_{T,[kg\cdot m^2]} \right)=\frac{1}{n_{sm}}\cdot \left(J_{G,[kg\cdot m^2]} + J_{T,[kg\cdot m^2]}\right). \end{equation} Вычислим число пар полюсов $n_{sm}$ для данного генератора через известное $n_{nomG,[rpm]}$, используя выражение (\ref{nsm_ng}): \begin{equation}\label{nsm_ngEx} n_{sm}=\frac{60\cdot 50[Hz]}{n_{G,[rpm]}}=\frac{60\cdot 50[Hz]}{3000[rpm]}=1. \end{equation} Можно заметить, что генератор является турбогенератором (число пар полюсов $n_{sm}=1$). Подставим вычисленный $n_{sm}$ в выражение (\ref{nsm_ngEx}) \begin{equation}\label{J_valsEx1} J_{[kg\cdot m^2]}=\frac{1}{n_{sm}}\cdot \left(J_{G,[kg\cdot m^2]} + J_{T,[kg\cdot m^2]}\right)=J_{G,[kg\cdot m^2]} + J_{T,[kg\cdot m^2]}. \end{equation} Выражения переводов (\ref{J_GD2}) позволяют вычислить [math]J_{G,[kg\cdot m^2]}[/math] и [math]J_{T,[kg\cdot m^2]}[/math] в выражении (\ref{J_valsEx1}) \begin{equation}\label{JGT_vals} \begin{aligned} J_{G,[kg \cdot m^2]} = GD^2_{G,[kg \cdot m^2]}/ 4=GD^2_{G,[t \cdot m^2]}\cdot 10^3/ 4, \\ J_{T,[kg \cdot m^2]} = GD^2_{T,[kg \cdot m^2]}/ 4=GD^2_{G,[t \cdot m^2]}\cdot 10^3/ 4. \end{aligned} \end{equation}

Вычислим итоговый [math]J_{[kg\cdot m^2]}[/math], подставив в выражение (\ref{J_valsEx1}) [math]J_{G,[kg \cdot m^2]}[/math] и [math]J_{T,[kg \cdot m^2]}[/math] из выражения (\ref{JGT_vals}) \begin{equation}\label{J_valsEx2} \begin{aligned} &J_{[kg\cdot m^2]}=J_{G,[kg\cdot m^2]} + J_{T,[kg\cdot m^2]}=. \\ &=\left( \frac{GD^2_{G,[t \cdot m^2]}\cdot 10^3}{4} + \frac{GD^2_{T,[t \cdot m^2]}\cdot 10^3}{4}\right)= \\ &=\frac{10^3}{4} \cdot \left(GD^2_{G,[t \cdot m^2]} + GD^2_{T,[t \cdot m^2]}\right). \end{aligned} \end{equation}

Вычислим итоговый [math]\tau_{jS,[1/s]}[/math], подставив в выражение (\ref{taujEx}) [math]J_{[kg\cdot m^2]}[/math], приведенный в выражении (\ref{J_valsEx2}), а также данное в начале примера [math]S_{nom,[MV\cdot A]}[/math], учитывая, что $S_{nom,[V\cdot A]}$ в выражении (\ref{taujEx}) измеряется в $[V\cdot A]$ \begin{equation}\label{tauj_ExRes1} \begin{aligned} &\tau_{jS,[1/s]}=J_{[kg\cdot m^2]}\cdot \frac{\omega_{nom,[rad/s]}^2}{S_{nom,[V\cdot A]}}= \\ &=\frac{10^3}{4} \cdot \left(GD^2_{G,[t \cdot m^2]} + GD^2_{T,[t \cdot m^2]}\right)\cdot \frac{\omega_{nom,[rad/s]}^2}{S_{nom,[V\cdot A]}}= \\ &=\frac{1}{4} \cdot \left(GD^2_{G,[t \cdot m^2]} + GD^2_{T,[t \cdot m^2]}\right)\cdot \frac{(2\cdot \pi \cdot 50[Hz])^2}{S_{nom,[MV\cdot A]}\cdot 10^3}= \\ &=\frac{(\pi \cdot 50[Hz])^2}{10^3}\cdot \frac{\left(GD^2_{G,[t \cdot m^2]} + GD^2_{T,[t \cdot m^2]}\right)}{S_{nom,[MV\cdot A]}} = \\ &=\frac{2.5\cdot \pi^2 \cdot \left(GD^2_{G,[t \cdot m^2]} + GD^2_{T,[t \cdot m^2]}\right)}{S_{nom,[MV\cdot A]}\cdot [s^2]} = \\ &=\frac{24.674 \cdot \left(GD^2_{G,[t \cdot m^2]} + GD^2_{T,[t \cdot m^2]}\right)}{S_{nom,[MV\cdot A]}\cdot [s^2]}. \end{aligned} \end{equation}

Заметим, что при выводе (\ref{tauj_ExRes1}), учитывая, что $n_{nom,[rpm]}\equiv f_{nom,[Hz]}\cdot 60$, можно было вычислить известную по учебникам формулу \begin{equation}\label{tauj_ExRes2} \begin{aligned} &\tau_{jS,[1/s]}=\frac{10^3}{4} \cdot \left(GD^2_{G,[t \cdot m^2]} + GD^2_{T,[t \cdot m^2]}\right)\cdot \frac{\omega_{nom,[rad/s]}^2}{S_{nom,[V\cdot A]}}= \\ &=\frac{1}{4} \cdot \left(GD^2_{G,[t \cdot m^2]} + GD^2_{T,[t \cdot m^2]}\right)\cdot \frac{(2\cdot \pi \cdot n_{nom,[rpm]}/60)^2}{S_{nom,[MV\cdot A]}\cdot 10^3}= \\ &=\left(GD^2_{G,[t \cdot m^2]} + GD^2_{T,[t \cdot m^2]}\right)\cdot \frac{(\pi \cdot n_{nom,[rpm]}/60)^2}{S_{nom,[MV\cdot A]}\cdot 10^3}= \\ &=\frac{\pi^2}{3600\cdot 10^3} \cdot \frac{\left(GD^2_{G,[t \cdot m^2]} + GD^2_{T,[t \cdot m^2]}\right)\cdot n_{nom,[rpm]}^2}{S_{nom,[MV\cdot A]}\cdot [s^2]}= \\ &=2.741557\cdot 10^{-6} \cdot \frac{\left(GD^2_{G,[t \cdot m^2]} + GD^2_{T,[t \cdot m^2]}\right)\cdot n_{nom,[rpm]}^2}{S_{nom,[MV\cdot A]}\cdot [s^2]}. \end{aligned} \end{equation}