Преобразование сложнозамкнутых электрических схем

Материал из Wiki Power System
Перейти к: навигация, поиск

В статье приводится описание методов эквивалентирования сложнозамкнутых электрических сетей, при расчёте параметров установившегося режима электрической сети.

Общие положения

Для расчётов параметров установившихся режимов сложнозамкнутых электрических сетей может быть использован метод преобразования сети. Суть этого метода сводится к приведению сети к более простому виду. Упрощенная сеть рассчитывается с использованием известных методов расчёта разомкнутых сетей и сетей с двухсторонним питанием и затем производится обратное преобразование сети к исходному виду. При использовании метода преобразования применяются приемы разноса нагрузок по концам участка сети и из центра звезды, объединения концевых источников питания и нагрузок, преобразования пассивных частей схем электрической сети. Метод преобразования должен применяться с соблюдением условия неизменности параметров установившегося режима сети, внешней по отношению к преобразуемой ее части.

Преобразование пассивных элементов схемы

Приведение сопротивления к другому классу напряжения

Пусть коэффициент трансформации равен:

[math]\displaystyle \dot k=\frac{\dot {U}_{вн}}{\dot {U}_{нн}}.[/math]

Если выразить сопротиление через ток и напряжения

[math]\displaystyle \underline{Z} = \frac{\dot U}{\dot I}.[/math]
[math]\displaystyle \underline{Z}_{вн} = \frac{\dot U_{вн}}{\dot I_{вн}}.[/math]
[math]\displaystyle \underline{Z}_{нн} = \frac{\dot U_{нн}}{\dot I_{нн}}.[/math]

Возможно два случая:

  • Сопротивление необходимо привести от высшего напряжения к низшему.
  • Сопротивление необходимо привести от низшего напряжения к высшему.

В первом случае сопртивление можно представить.

[math]\displaystyle \underline{Z}_{нн} = \frac{\dot U_{нн}}{\dot I_{нн}} = \frac{\dot U_{вн}}{\dot k} \frac{1}{\dot I_{вн} \cdot \dot k} = \underline{Z}_{вн} \cdot \frac{1}{\dot k^2}.[/math]

Во втором случае

[math]\displaystyle \underline{Z}_{вн} = \underline{Z}_{нн} \cdot \dot k^2.[/math]

Последовательное сложение элементов

При последовательном соединении:

[math]\displaystyle I={I}_{1}={I}_{2}={I}_{n}[/math]
[math]\displaystyle U={U}_{1}+{U}_{2}+...+{U}_{n}[/math]


Последовательное сложение резисторов

Последовательное соединение резисторов.

[math]\displaystyle {R}_{экв}={R}_{1}+{R}_{2}+...+{R}_{n}[/math]


Последовательное сложение катушек индуктивности

Последовательное соединение катушек индуктивности.

[math]\displaystyle {L}_{экв}={L}_{1}+{L}_{2}+...+{L}_{n} =\gt {j} \cdot {X}_{{L}_{экв}}={j} \cdot {X}_{{L}_{1}}+{j} \cdot {X}_{{L}_{2}}+...+{j} \cdot {X}_{{L}_{n}}[/math]


Последовательное сложение конденсаторов

Последовательное соединение конденсаторов.

[math]\displaystyle \frac{1}{{C}_{экв}}=\frac{1}{{C}_{1}}+\frac{1}{{C}_{2}}+...+\frac{1}{{C}_{n}} =\gt {j} \cdot {X}_{{C}_{экв}}={j} \cdot {X}_{{C}_{1}}+{j} \cdot {X}_{{C}_{2}}+...+{j} \cdot {X}_{{C}_{n}}[/math]

Параллельное сложение элементов

При параллельном соединении:

[math]\displaystyle U={U}_{1}={U}_{2}={U}_{n}[/math]
[math]\displaystyle I={I}_{1}+{I}_{2}+...+{I}_{n}[/math]


Параллельное сложение резисторов

Параллельное соединение резисторов.

[math]\displaystyle \frac{1}{{R}_{экв}}=\frac{1}{{R}_{1}}+\frac{1}{{R}_{2}}+...+\frac{1}{{R}_{n}}[/math]

или

[math]\displaystyle {g}_{экв}={g}_{1}+{g}_{2}+...+{g}_{n}[/math]

где [math]\displaystyle g = \frac{1}{R}[/math] — проводимость.


Параллельное сложение катушек индуктивности

Параллельное соединение катушек индуктивности.

[math]\displaystyle \frac{1}{{L}_{экв}}=\frac{1}{{L}_{1}}+\frac{1}{{L}_{2}}+...+\frac{1}{{L}_{n}} =\gt \frac{1}{{j} \cdot {X}_{{L}_{экв}}}=\frac{1}{{j} \cdot {X}_{{L}_{1}}}+\frac{1}{{j} \cdot {X}_{{L}_{2}}}+...+\frac{1}{{j} \cdot {L}_{{L}_{n}}} [/math]


Параллельное сложение конденсаторов

Параллельное соединение конденсаторов.

[math]\displaystyle {C}_{экв}={C}_{1}+{C}_{2}+...+{C}_{n} =\gt \frac{1}{{j} \cdot {X}_{{C}_{экв}}}=\frac{1}{{j} \cdot {X}_{{C}_{1}}}+\frac{1}{{j} \cdot {X}_{{C}_{2}}}+...+\frac{1}{{j} \cdot {X}_{{C}_{n}}}[/math]

Преобразование треугольник-звезда

Преобразование треугольник-звезда — способ преобразования участка линейной электрической цепи в виде треугольника к эквивалентному участку цепи в виде звезды. Возможность данного преобразования обусловлена тем, что в обоих случаях потенциалы между одноименными точками, а также токи подтекающие к ним не изменятся.

Преобразование треугольник-звезда.


[math]\displaystyle \underline{Z}_{1}=\frac{\underline{Z}_{12} \cdot \underline{Z}_{13}}{\underline{Z}_{12}+\underline{Z}_{23}+\underline{Z}_{13}}[/math]
[math]\displaystyle \underline{Z}_{2}=\frac{\underline{Z}_{12} \cdot \underline{Z}_{23}}{\underline{Z}_{12}+\underline{Z}_{23}+\underline{Z}_{13}}[/math]
[math]\displaystyle \underline{Z}_{3}=\frac{\underline{Z}_{23} \cdot \underline{Z}_{13}}{\underline{Z}_{12}+\underline{Z}_{23}+\underline{Z}_{13}}[/math]


Преобразование звезда-треугольник
[math]\displaystyle \underline{Z}_{12}=\underline{Z}_{1}+\underline{Z}_{2}+\frac{\underline{Z}_{1} \cdot \underline{Z}_{2}}{\underline{Z}_{3}}[/math]
[math]\displaystyle \underline{Z}_{13}=\underline{Z}_{1}+\underline{Z}_{3}+\frac{\underline{Z}_{1} \cdot \underline{Z}_{3}}{\underline{Z}_{2}}[/math]
[math]\displaystyle \underline{Z}_{23}=\underline{Z}_{2}+\underline{Z}_{3}+\frac{\underline{Z}_{2} \cdot \underline{Z}_{3}}{\underline{Z}_{1}}[/math]

Исключение нагрузочных и генераторных узлов

Разнос нагрузок из любого узла сети должен выполняться так, чтобы преобразование электрической сети было эквивалентным. Эквивалентность преобразования соблюдается, если в результате не изменяются параметры режима в той части схемы, которая не подвергалась преобразованию.

Разнос нагрузок на магистральном участке сети

Рисунок 1. Участок произвольной цепи.

Пусть дан участок сети 1-2-3, представленный на рисунке 1.

В узлах даны токи инъекции. Выполним разнос нагрузки узла 2 между узлами 1 и 3.

Допущение:

Все токи в узлах постоянны и не изменяются со временем.

Исходный участок сети:

Составим 1 закон Кирхгофа для 1 и 2 узлов,

[math]\displaystyle \dot I_{2′} = -\dot I_{1}-\dot I_{n} \text{ ; }[/math]
[math]\displaystyle \dot I_{2′′} = \dot I_{2}-\dot I_{2′}\text{ . }[/math]

Падение напряжения на участке сети 1 - 3,

[math]\displaystyle \dot U_{13} = \dot I_{2′} \cdot \underline Z_{12} - \dot I_{2′′} \cdot \underline Z_{23} \text{ . }[/math]

Эквивалентный участок сети:

Составим 1 закон Кирхгофа для 1 узла,

[math]\displaystyle \dot I_{13} = -\dot I_{1}-\dot I_{2′}-\dot I_{n} \text{ . }[/math]

Падение напряжения на участке сети 1 - 3,

[math]\displaystyle \dot U_{13} = \dot I_{13} \cdot (\underline Z_{12} + \underline Z_{23}) \text{ . }[/math]

Приравняем падение напряжения на обоих участках сети,

[math]\displaystyle \dot I_{2′} \cdot \underline Z_{12} - (\dot I_{2}-\dot I_{2′}) \cdot \underline Z_{23} = \dot I_{13} \cdot (\underline Z_{12} + \underline Z_{23}) \text{ . }[/math]

Подставим в последнее выражение найденные ранее соотношения,

[math]\displaystyle(-\dot I_{1}-\dot I_{n}) \cdot \underline Z_{12} - (\dot I_{2}-\dot I_{2′}) \cdot \underline Z_{23} = (-\dot I_{1}-\dot I_{2′}-\dot I_{n}) \cdot (\underline Z_{12} + \underline Z_{23}) \text{ . }[/math]

Раскроем скобки и преобразуем выражение,

[math]\displaystyle -\dot I_{1} \cdot \underline Z_{12} -\dot I_{n} \cdot \underline Z_{12} - \dot I_{2} \cdot \underline Z_{23} + \dot I_{2′} \cdot \underline Z_{23} = -\dot I_{1} \cdot \underline Z_{12}-\dot I_{1} \cdot \underline Z_{23} - \dot I_{2′} \cdot \underline Z_{12} - \dot I_{2′} \cdot \underline Z_{23} - \dot I_{n} \cdot \underline Z_{12} - \dot I_{n} \cdot \underline Z_{23} \text{ ; }[/math]


[math]\displaystyle - \dot I_{2} \cdot \underline Z_{23} + \dot I_{2′} \cdot \underline Z_{23} = -\dot I_{1} \cdot \underline Z_{23} - \dot I_{2′} \cdot \underline Z_{12} - \dot I_{2′} \cdot \underline Z_{23} - \dot I_{n} \cdot \underline Z_{23} \text{ ; }[/math]


[math]\displaystyle \dot I_{2′} \cdot (\underline Z_{12} + \underline Z_{23}) = \dot I_{2} \cdot \underline Z_{23} - \dot I_{2′} \cdot \underline Z_{23} - \dot I_{1} \cdot \underline Z_{23} - \dot I_{n} \cdot \underline Z_{23}\text{ . }[/math]


Так как [math]\displaystyle \dot I_{2′} = -\dot I_{1}-\dot I_{n}[/math], то


[math]\displaystyle \dot I_{2′} \cdot (\underline Z_{12} + \underline Z_{23}) = \dot I_{2} \cdot \underline Z_{23} + \dot I_{1} \cdot \underline Z_{23} + \dot I_{n} \cdot \underline Z_{23} - \dot I_{1} \cdot \underline Z_{23} - \dot I_{n} \cdot \underline Z_{23}\text{ ; }[/math]


[math]\displaystyle \dot I_{2′} \cdot (\underline Z_{12} + \underline Z_{23}) = \dot I_{2} \cdot \underline Z_{23} \text{ ; }[/math]


[math]\displaystyle \dot I_{2′} = \frac{\dot I_{2} \cdot \underline Z_{23}}{\underline Z_{12}+\underline Z_{23}} \text{ . }[/math]


Так как [math]\displaystyle \dot I_{2′} = \dot I_{2}-\dot I_{2′′}[/math], то


[math]\displaystyle \dot I_{2} \cdot \underline Z_{12} + \dot I_{2} \cdot \underline Z_{23} - \dot I_{2′′} \cdot \underline Z_{12} - \dot I_{2′′} \cdot \underline Z_{23} = \dot I_{2} \cdot \underline Z_{23} \text{ ; }[/math]


[math]\displaystyle \dot I_{2} \cdot \underline Z_{12} = \dot I_{2′′} \cdot (\underline Z_{12} + \underline Z_{23}) \text{ ; }[/math]


[math]\displaystyle \dot I_{2′′} = \frac{\dot I_{2} \cdot \underline Z_{12}}{\underline Z_{12}+\underline Z_{23}} \text{ . }[/math]


Применим сопряжение с обеих сторон для каждой формулы и домножим на U,

[math]\displaystyle \overset{*}{\dot I_{2′}} \cdot \dot U_{1} = \frac{\overset{*}{\dot I_{2}} \cdot \dot U_{1} \cdot \hat Z_{23}}{\hat Z_{12} + \hat Z_{23}} \text{ ; } \overset{*}{\dot I_{2′′}} \cdot \dot U_{3} = \frac{\overset{*}{\dot I_{2}} \cdot \dot U_{3} \cdot \hat Z_{12}}{\hat Z_{12} + \hat Z_{23}} \text{ . } [/math]


Так как [math]\displaystyle S = \overset{*}{I} \cdot U[/math], то финальные формулы имеют вид:


[math]\displaystyle {\dot S_{2′}} = \frac{{\dot S_{2}}\cdot \hat Z_{23}}{\hat Z_{12} + \hat Z_{23}} \text{ ; } {\dot S_{2′′}} = \frac{{\dot S_{2}}\cdot \hat Z_{12}}{\hat Z_{12} + \hat Z_{23}} \text{ . } [/math]

Разнос нагрузки из центра звезды

Рисунок 2. Произвольная многолучевая звезда.

Пусть дана исходная схема в виде звезды, изображенная на рисунке 2.

Выполним разнос нагрузки из центра. Ток будет распределяться по остальным узлам пропорционально проводимостям.

Допущение:

Все токи в узлах постоянны и не изменяются со временем.

В общем случае разнос нагрузки из центра звезды выглядит следующим образом,

[math]\displaystyle \dot I_{nэ} = \dot I_{n} + \frac {\dot I_{нагр} \cdot \underline G_{n}}{\sum\limits_{i=1}^n \underline G_{i}} \text{ . }[/math]

Общая формула разноса нагрузки многолучевой звезды в мощностях,

[math]\displaystyle \dot S_{nэ} = \dot S_{n} + \frac {\dot S_{нагр} \cdot \hat G_{n}}{\sum\limits_{i=1}^n \hat G_{i}} \text{ . }[/math]

В частном случае, для трехлучевой звезды, эквивалентные токи равны,

[math]\displaystyle \dot I_{1э} = \dot I_{1} + \frac {\dot I_{нагр} \cdot \underline G_{1}}{\underline G_{1} + \underline G_{2} + \underline G_{3}} \text{ ; }[/math]
[math]\displaystyle \dot I_{2э} = \dot I_{2} + \frac {\dot I_{нагр} \cdot \underline G_{2}}{\underline G_{1} + \underline G_{2} + \underline G_{3}} \text{ ; }[/math]
[math]\displaystyle \dot I_{3э} = \dot I_{3} + \frac {\dot I_{нагр} \cdot \underline G_{3}}{\underline G_{1} + \underline G_{2} + \underline G_{3}} \text{ . }[/math]

Объединение источников питания

Рисунок 3. Участок произвольной сети с ЭДС.

Пусть дан участок сети 1-2-n, представленный на рисунке 3.

Выполним эквивалентирование ЭДС.

Допущение:

Все ЭДС постоянны и не изменяются со временем.

Второй закон Кирхгофа для эквивалентной схемы,

[math]\displaystyle \dot U_{3} = \dot E_{э}-\frac {\dot I_{э}}{\underline G_{э}} \text{ . }[/math]

Тогда эквивалентная ЭДС равна,

[math]\displaystyle \dot E_{э} = \dot U_{3} + \frac {\dot I_{э}}{\underline G_{э}} \text{ . }[/math]

Методом наложения эквивалентный ток равен,

[math]\displaystyle \dot I_{э} =\dot I_{1} + \dot I_{2} + \dot I_{n} \text{ . }[/math]

По второму закону Кирхгофа токи в исходной схеме равны,

[math]\displaystyle \dot I_{1} = (\dot E_{1} - \dot U_{3}) \cdot \underline G_{1} \text{ ; }[/math]
[math]\displaystyle \dot I_{2} = (\dot E_{2} - \dot U_{3}) \cdot \underline G_{2} \text{ ; }[/math]
[math]\displaystyle \dot I_{n} = (\dot E_{n} - \dot U_{3}) \cdot \underline G_{n} \text{ . }[/math]

Подставим полученные соотношения в выражение эквивалентной ЭДС,

[math]\displaystyle \dot Е_{э} = \dot U_{3} + \frac {(\dot E_{1} - \dot U_{3}) \cdot \underline G_{1} + (\dot E_{2} - \dot U_{3}) \cdot \underline G_{2} + (\dot E_{n} - \dot U_{3}) \cdot \underline G_{n} }{\underline G_{э}} \text{ . }[/math]

Ввиду того, что [math]\displaystyle \underline G_{э} = \underline G_{1} + \underline G_{2} + \underline G_{n} [/math] выполним упрощение выражения,

[math]\displaystyle \dot E_{э} = \frac {\dot U_{3} \cdot \underline G_{1} + \dot U_{3} \cdot \underline G_{2} + \dot U_{3} \cdot \underline G_{n} + (\dot E_{1} - \dot U_{3}) \cdot \underline G_{1} + (\dot E_{2} - \dot U_{3}) \cdot \underline G_{2} + (\dot E_{n} - \dot U_{3}) \cdot \underline G_{n} }{\underline G_{1} + \underline G_{2} + \underline G_{n}} \text{ ; }[/math]
[math]\displaystyle \dot E_{э} = \frac {\dot U_{3} \cdot \underline G_{1} + \dot U_{3} \cdot \underline G_{2} + \dot U_{3} \cdot \underline G_{n} + \dot E_{1} \cdot \underline G_{1} - \dot U_{3} \cdot \underline G_{1} + \dot E_{2} \cdot \underline G_{2} - \dot U_{3} \cdot \underline G_{2} + \dot E_{n} \underline G_{n} - \dot U_{3} \cdot \underline G_{n} }{\underline G_{1} + \underline G_{2} + \underline G_{n}} \text{ ; }[/math]
[math]\displaystyle \dot E_{э} = \frac {\dot E_{1} \cdot \underline G_{1} + \dot E_{2} \cdot \underline G_{2} + \dot E_{n} \underline G_{n}}{\underline G_{1} + \underline G_{2} + \underline G_{n}} \text{ . }[/math]

Общая формула имеет вид,

[math] \dot E_{э} = \displaystyle \frac {\sum\limits_{i=1}^n \dot E_{i} \cdot \underline G_{i}}{\sum\limits_{i=1}^n \underline G_{i}} \text{ . }[/math]

Частный случай для 2 ЭДС в сопротивлениях,

[math] \dot E_{э} = \displaystyle \frac {\dot E_{1} \cdot \underline Z_{2} + \dot E_{2} \cdot \underline Z_{1}}{\underline Z_{1} + \underline Z_{2}} \text{ . }[/math]

Частный случай для 3 ЭДС в сопротивлениях,

[math] \dot E_{э} = \displaystyle \frac {\dot E_{1} \cdot \underline Z_{2} \cdot \underline Z_{3} + \dot E_{2} \cdot \underline Z_{1} \cdot \underline Z_{3} + \dot E_{3} \cdot \underline Z_{1} \cdot \underline Z_{2}}{\underline Z_{1} \cdot \underline Z_{2} + \underline Z_{2} \cdot \underline Z_{3} + \underline Z_{1} \cdot \underline Z_{3}} \text{ . }[/math]

Рекомендуемая литература

  1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи: Учебник для Вузов. — 8. — М.: Высшая школа, 1984. — 559 с.